Comptes Rendus
Systèmes dynamiques/Géométrie analytique
Rang et courbure de Blaschke des tissus holomorphes réguliers de codimension un
[Rank and curvature of Blaschke for regular holomorphic webs of codimension one]
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 346 (2008) no. 23-24, pp. 1283-1288.

1 To any d-web of codimension one on a holomorphic n-dimensional manifold M (d>n), we associate an analytic subset S of M. We call regular the webs for which S has at most dimension n1. This condition is generically satisfied.

Denoting by c(n,h) the dimension of the vector space of homogeneous polynomials of degree h in n variables, we prove that the rank of a regular web has an upper-bound π(n,d) equal to 0 for d<c(n,2), and to h=1k0(dc(n,h)) for dc(n,2), k0 denoting the integer such that c(n,k0)d<c(n,k0+1). This bound π(n,d) is optimal for regular webs. For n3, it is strictly smaller than the bound π(n,d) of Chern–Castelnuovo.

Moreover, if d is precisely equal to c(n,k0), we define a holomorphic connection on some vector bundle E of rank π(n,d) above MS, such that the vector space of germs of Abelian relation of the web at a point of MS is isomorphic to the vector space of germs at that point of holomorphic sections of E with vanishing covariant derivative: the curvature of this connection, which generalizes the curvature of Blaschke–Dubourdieu–Panzani–Hénaut, is then the obstruction for the rank of the web to reach the value π(n,d). [When n=2, S is always empty so that any web is regular, π(2,d)=π(2,d), any d may be written c(2,k0): we recover the results given in Pantazi (1938) and Hénaut (2004).]

A tout d-tissu de codimension un sur une variété holomorphe M de dimension n, (d>n), nous associons un sous-ensemble analytique S de M, qui – génériquement – a une dimension au plus égale à n1 : on dit alors que le tissu est régulier.

Notant c(n,h) la dimension de l'espace vectoriel des polynômes homogènes de degré h à n variables, nous montrons que le rang d'un tissu régulier a une borne supérieure π(n,d) égale à 0 pour d<c(n,2), et à h=1k0(dc(n,h)) pour dc(n,2), k0 désignant l'entier tel que c(n,k0)d<c(n,k0+1). Cette borne est optimale pour les tissus réguliers. Elle est strictement inférieure à la borne π(n,d) de Chern–Castelnuovo pour n3.

En outre, si d est précisément égal à c(n,k0), nous définissons une connexion holomorphe sur un certain fibré vectoriel holomorphe E de rang π(n,d) au dessus de MS, tel que l'espace vectoriel des germes de relation abélienne du tissu en un point de MS soit isomorphe à l'espace vectoriel des germes, en ce point, de sections holomorphes de E ayant une dérivée covariante nulle : la courbure de cette connexion, qui généralise la courbure de Blaschke–Dubourdieu–Pantazi–Hénaut, est alors l'obstruction à ce que le rang du tissu atteigne la valeur π(n,d). [Pour n=2, S est toujours vide de sorte que tout tissu est régulier, π(2,d) est égal à π(2,d), et tout d peut s'écrire sous la forme c(2,k0) : nous retrouvons les résultats de Pantazi (1938) et de Hénaut (2004).]

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DOI: 10.1016/j.crma.2008.10.011
Vincent Cavalier 1; Daniel Lehmann 1

1 CNRS UMR 5030, Laboratoire I3M, Université de Montpellier II, case 051, 34095 Montpellier cedex 5, France
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Vincent Cavalier; Daniel Lehmann. Rang et courbure de Blaschke des tissus holomorphes réguliers de codimension un. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 346 (2008) no. 23-24, pp. 1283-1288. doi : 10.1016/j.crma.2008.10.011. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2008.10.011/

[1] V. Cavalier; D. Lehmann Regular holomorphic webs of codimension one, 20/03/2007 | arXiv

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Cited by Sources:

Cet article est un résumé de [V. Cavalier, D. Lehmann, Regular holomorphic webs of codimension one, arXiv: math/0703596v1 [math. DS], 20/03/2007, [1]], sans démonstration.

☆☆ Nous avons récemment modifié la terminologie, et appelons désormais “ordinaires” les tissus dits “réguliers” dans cette note.

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