Homology of free quantum groups

Benoît Collins; Johannes Härtel; Andreas Thom

doi:10.1016/j.crma.2009.01.021

Functional Analysis

Homology of free quantum groups
[Homologie des groupes quantiques libres]

Présenté par : Gilles Pisier

Benoît Collins ^1,² ; Johannes Härtel ³ ; Andreas Thom ³

¹ Département de mathématique et statistique, Université d'Ottawa, 585, King Edward, Ottawa, ON, K1N6N5 Canada
² CNRS, Institut Camille-Jordan, Université Lyon 1, 43, boulevard du 11 Novembre 1918, 69622 Villeurbanne, France
³ Mathematisches Institut der Universität Göttingen, Bunsenstr. 3-5, 37073 Göttingen, Germany

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 347 (2009) no. 5-6, pp. 271-276.

Résumé
Abstract

Nous calculons l'homologie de Hochschild du groupe quantique libre $A_{o} (n)$ . Nous montrons qu'il vérifie une dualité de Poincaré et qu'il peut être considéré comme un objet en 3 dimensions. Nous utilisons ensuite des résultats récents de R. Vergnioux pour en déduire des résultats sur l'homologie $ℓ^{2}$ de $A_{o} (n)$ et des estimées sur la dimension libre de l'ensemble des générateurs. En particulier, nous démontrons que tous les nombres de Betti $ℓ^{2}$ de $A_{o} (n)$ sont nuls et que la dimension libre de $A_{o} (n)$ est majorée par 1.

We compute the Hochschild homology of the free orthogonal quantum group $A_{o} (n)$ . We show that it satisfies Poincaré duality and should be considered to be a 3-dimensional object. We then use recent results of R. Vergnioux to derive results about the $ℓ^{2}$ -homology of $A_{o} (n)$ and estimates on the free entropy dimension of its set of generators. In particular, we show that the $ℓ^{2}$ Betti-numbers of $A_{o} (n)$ all vanish and that the free entropy dimension is less than 1.

Reçu le : 2008-12-09
Accepté le : 2009-01-27
Publié le : 2009-02-20

DOI : 10.1016/j.crma.2009.01.021

Affiliations des auteurs :

Benoît Collins ^{1, 2} ; Johannes Härtel ³ ; Andreas Thom ³

@article{CRMATH_2009__347_5-6_271_0,
     author = {Beno{\^\i}t Collins and Johannes H\"artel and Andreas Thom},
     title = {Homology of free quantum groups},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {271--276},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {347},
     number = {5-6},
     year = {2009},
     doi = {10.1016/j.crma.2009.01.021},
     language = {en},
}

TY  - JOUR
AU  - Benoît Collins
AU  - Johannes Härtel
AU  - Andreas Thom
TI  - Homology of free quantum groups
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2009
SP  - 271
EP  - 276
VL  - 347
IS  - 5-6
PB  - Elsevier
DO  - 10.1016/j.crma.2009.01.021
LA  - en
ID  - CRMATH_2009__347_5-6_271_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Benoît Collins
%A Johannes Härtel
%A Andreas Thom
%T Homology of free quantum groups
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2009
%P 271-276
%V 347
%N 5-6
%I Elsevier
%R 10.1016/j.crma.2009.01.021
%G en
%F CRMATH_2009__347_5-6_271_0

Benoît Collins; Johannes Härtel; Andreas Thom. Homology of free quantum groups. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 347 (2009) no. 5-6, pp. 271-276. doi : 10.1016/j.crma.2009.01.021. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2009.01.021/

Bibliographie
Cité par

[1] T. Banica Le groupe quantique compact libre $U (n)$ , Comm. Math. Phys., Volume 190 (1997) no. 1, pp. 143-172

[2] A. Connes; D. Shlyakhtenko $L^{2}$ -homology for von Neumann algebras, J. Reine Angew. Math., Volume 586 (2005), pp. 125-168

[3] J. Härtel, Reduktionssysteme zur Berechnung einer Auflösung der orthogonalen freien Quantengruppen $A_{o} (n)$ , Dissertation zur Erlangung des Doktortitels, Georg-August-Universität Göttingen, Mathematisch-naturwissenschaftliche Fakultäten, 2008-07-04, http://webdoc.sub.gwdg.de/diss/2008/haertel/, 2007

[4] U. Krähmer, Poincaré duality in Hochschild (co)homology, in: Proceedings of Conference “New Techniques in Hopf Algebras and Graded Ring Theory”, 2007, pp. 117–125

[5] D. Kyed, $L^{2}$ Betti numbers of coamenable quantum groups, Münster J. Math., , in press | arXiv

[6] A. Thom $L^{2}$ -cohomology for von Neumann algebras, GAFA, Volume 18 (2008), pp. 251-270

[7] S. Vaes; R. Vergnioux The boundary of universal discrete quantum groups, exactness, and factoriality, Duke Math. J., Volume 140 (2007) no. 1, pp. 35-84

[8] M. van den Bergh A relation between Hochschild homology and cohomology for Gorenstein rings, Proc. Amer. Math. Soc., Volume 126 (1998) no. 5, pp. 1345-1348

[9] R. Vergnioux, Lengths on quantum Cayley trees, Preprint, 2008

[10] Sh. Wang Free products of compact quantum groups, Comm. Math. Phys., Volume 167 (1995) no. 3, pp. 671-692

[11] S.L. Woronowicz Compact matrix pseudogroups, Comm. Math. Phys., Volume 111 (1987) no. 4, pp. 613-665

Cité par Sources :

Commentaires - Politique