Interpolation avec contraintes sur des ensembles finis du disque

Rachid Zarouf

doi:10.1016/j.crma.2009.04.014

Analyse fonctionnelle

Interpolation avec contraintes sur des ensembles finis du disque
[Interpolation with constraints on the finite sets of the disc]

Gilles Pisier

Rachid Zarouf ¹

¹Equipe d'analyse et géométrie, Institut de mathématiques de Bordeaux, Université Bordeaux, 351, cours de la Libération, 33405 Talence, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 347 (2009) no. 13-14, pp. 785-790

Résumé (Original language)
Abstract

Étant donné un ensemble fini σ du disque unité $D = {z \in C : | z | < 1}$ et une fonction f holomorphe dans $D$ appartenant à une certaine classe X, on cherche g dans une autre classe Y (plus petite que X) qui minimise la norme de g dans Y parmi toutes les fonctions g satisfaisant la condition $g_{| σ} = f_{| σ}$ . On montre que dans le cas $Y = H^{\infty}$ , la constante d'interpolation correspondante $c (σ, X, H^{\infty})$ est majorée par $a φ_{X} (1 - \frac{1 - r}{n})$ où $n = # σ$ , $r = \max_{λ \in σ} | λ |$ et $φ_{X} (t)$ est la norme de la fonctionnelle d'évaluation $f \mapsto f (λ)$ , sur l'espace X. La majoration est exacte sur l'ensemble des σ avec n et r donné.

Given a finite set σ of the unit disc $D = {z \in C : | z | < 1}$ and a holomorphic function f in $D$ which belongs to a class X, we are looking for a function g in another class Y (smaller than X) which minimizes the norm $‖ g ‖_{Y}$ among all functions g such that $g_{| σ} = f_{| σ}$ . For $Y = H^{\infty}$ , and for the corresponding interpolation constant $c (σ, X, H^{\infty})$ , we show that $c (σ, X, H^{\infty}) ⩽ a φ_{X} (1 - \frac{1 - r}{n})$ where $n = # σ$ , $r = \max_{λ \in σ} | λ |$ and where $φ_{X} (t)$ stands for the norm of the evaluation functional $f \mapsto f (λ)$ on the space X. The upper bound is sharp over sets σ with given n and r.

Article information
Cite this article

Received: 2009-04-04
Accepted: 2009-04-09
Published online: 2009-05-17

DOI: 10.1016/j.crma.2009.04.014

Author's affiliations:

Rachid Zarouf ¹

¹ Equipe d'analyse et géométrie, Institut de mathématiques de Bordeaux, Université Bordeaux, 351, cours de la Libération, 33405 Talence, France

Rachid Zarouf. Interpolation avec contraintes sur des ensembles finis du disque. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 347 (2009) no. 13-14, pp. 785-790. doi: 10.1016/j.crma.2009.04.014

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