Some optimal pointwise ergodic theorems with rate

Christophe Cuny

doi:10.1016/j.crma.2009.04.034

Dynamical Systems/Probability Theory

Some optimal pointwise ergodic theorems with rate
[Théorèmes ergodiques ponctuels avec vitesse optimale]

Présenté par : Wendelin Werner

Christophe Cuny ¹

¹ Université de la Nouvelle-Calédonie, Équipe ERIM, B.P. R4, 98800 Nouméa, New Caledonia

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 347 (2009) no. 15-16, pp. 953-958.

Résumé
Abstract

Soit T un opérateur de Dunford–Schwartz sur l'espace de probabilité $(X, Σ, μ)$ et $p > 1$ . Pour f dans l'image d'opérateurs judicieux de $L^{p} (X, Σ, μ)$ , nous obtenons des théorèmes ergodiques ponctuels avec vitesse, par une méthode due à Derriennic et Lin (2001). Lorsque T est induit par une transformation préservant μ, nous montrons l'optimalité des résultats, la preuve étant inspirée par une construction de Déniel (1989).

Let T be a Dunford–Schwartz operator on the probability space $(X, Σ, μ)$ and $p > 1$ . For f in the range of suitable operators of $L^{p} (X, Σ, μ)$ , we obtain pointwise ergodic theorems with rate, using a method of Derriennic and Lin (2001). When T is induced by a μ-preserving transformation, these results are shown to be optimal. The proof of the optimality is inspired from a construction of Déniel (1989).

Reçu le : 2009-02-15
Accepté le : 2009-04-29
Publié le : 2009-06-03

DOI : 10.1016/j.crma.2009.04.034

Affiliations des auteurs :

Christophe Cuny ¹

¹ Université de la Nouvelle-Calédonie, Équipe ERIM, B.P. R4, 98800 Nouméa, New Caledonia

@article{CRMATH_2009__347_15-16_953_0,
     author = {Christophe Cuny},
     title = {Some optimal pointwise ergodic theorems with rate},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {953--958},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {347},
     number = {15-16},
     year = {2009},
     doi = {10.1016/j.crma.2009.04.034},
     language = {en},
}

TY  - JOUR
AU  - Christophe Cuny
TI  - Some optimal pointwise ergodic theorems with rate
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2009
SP  - 953
EP  - 958
VL  - 347
IS  - 15-16
PB  - Elsevier
DO  - 10.1016/j.crma.2009.04.034
LA  - en
ID  - CRMATH_2009__347_15-16_953_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Christophe Cuny
%T Some optimal pointwise ergodic theorems with rate
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2009
%P 953-958
%V 347
%N 15-16
%I Elsevier
%R 10.1016/j.crma.2009.04.034
%G en
%F CRMATH_2009__347_15-16_953_0

Christophe Cuny. Some optimal pointwise ergodic theorems with rate. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 347 (2009) no. 15-16, pp. 953-958. doi : 10.1016/j.crma.2009.04.034. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2009.04.034/

Bibliographie
Cité par

[1] G. Cohen; M. Lin Extensions of the Menchoff–Rademacher theorem with applications to ergodic theory, Israel J. Math., Volume 148 (2005), pp. 41-86

[2] C. Cuny, On the a.s. convergence of the one-sided ergodic Hilbert transform, Ergodic Theory Dynam. Systems, in press

[3] C. Cuny, Pointwise ergodic theorems with rate and application to limit theorems for stationary processes, preprint

[4] Y. Déniel On the a.s. Cesaro-α convergence for stationary or orthogonal random variables, J. Theoret. Probab., Volume 2 (1989) no. 4, pp. 475-485

[5] Y. Derriennic; M. Lin Fractional Poisson equations and ergodic theorems for fractional coboundaries, Israel J. Math., Volume 123 (2001), pp. 93-130

[6] V.F. Gaposhkin The dependence of the rate of convergence in the strong law of large numbers for stationary processes on the rate of diminution of the correlation function, Teor. Veroyatnost. i Primenen., Volume 26 (1981) no. 4, pp. 720-733

[7] U. Krengel Ergodic Theorems, de Gruyter Studies in Mathematics, vol. 6, Walter de Gruyter & Co., Berlin, 1985

[8] K. Petersen Ergodic Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 2, Cambridge University Press, Cambridge, 1983

[9] M. Weber Uniform bounds under increment conditions, Trans. Amer. Math. Soc., Volume 358 (2006) no. 2, pp. 911-936

[10] O. Zhao; M. Woodroofe Law of the iterated logarithm for stationary processes, Ann. Probab., Volume 36 (2008), pp. 127-142

[11] A. Zygmund Trigonometric Series, Cambridge University Press, 1968

Cité par Sources :

^☆ Research partially carried out at Ben-Gurion University, supported by its Center for Advanced Studies in Mathematics.

Commentaires - Politique