Remarks on bounded solutions of steady Hamilton–Jacobi equations

Mihaï Bostan; Gawtum Namah

doi:10.1016/j.crma.2009.06.004

Partial Differential Equations

Remarks on bounded solutions of steady Hamilton–Jacobi equations
[Quelques remarques sur les solutions bornées des équations stationnaires d'Hamilton–Jacobi]

Présenté par : Pierre-Louis Lions

Mihaï Bostan ¹ ; Gawtum Namah ¹

¹ Laboratoire de mathématiques de Besançon, UMR CNRS 6623, université de Franche-Comté, 16, route de Gray, 25030 Besançon cedex, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 347 (2009) no. 15-16, pp. 873-878.

Résumé
Abstract

Dans cette Note on s'intéresse à l'équation $H (D u) = H (0), x \in R^{N}$ et plus précisément à la question suivante : dans quels cas les fonctions constantes sont-elles les seules solutions bornées de cette équation ? On démontre que tel est le cas sous des hypothèses de convexité et coercivité en dimension N quelconque. La preuve fait appel à la formule de Hopf–Lax. En une dimension d'espace on propose un résultat pour des hamiltoniens seulement faiblement coercifs moyennant une condition supplémentaire. Dans la dernière partie on utilise ces résultats pour identifier les limites asymptotiques en temps long des solutions des problèmes de Cauchy.

We study here the equation $H (D u) = H (0), x \in R^{N}$ . More precisely we investigate under which hypotheses the constant functions are the only bounded solutions. In arbitrary space dimension we prove that this happens when convexity and coercivity occur. In one space dimension we show that the above property holds true for Hamiltonians in a larger class. These results apply when studying the long time behaviour of solutions for time-dependent Hamilton–Jacobi equations.

Reçu le : 2009-03-17
Accepté le : 2009-06-04
Publié le : 2009-06-21

DOI : 10.1016/j.crma.2009.06.004

Affiliations des auteurs :

Mihaï Bostan ¹ ; Gawtum Namah ¹

¹ Laboratoire de mathématiques de Besançon, UMR CNRS 6623, université de Franche-Comté, 16, route de Gray, 25030 Besançon cedex, France

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Mihaï Bostan; Gawtum Namah. Remarks on bounded solutions of steady Hamilton–Jacobi equations. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 347 (2009) no. 15-16, pp. 873-878. doi : 10.1016/j.crma.2009.06.004. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2009.06.004/

Bibliographie
Cité par

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