Comptes Rendus
no. 15-16
Partial Differential Equations
Remarks on bounded solutions of steady Hamilton–Jacobi equations
[Quelques remarques sur les solutions bornées des équations stationnaires d'Hamilton–Jacobi]

Présenté par : Pierre-Louis Lions

Mihaï Bostan1 ; Gawtum Namah1
1 Laboratoire de mathématiques de Besançon, UMR CNRS 6623, université de Franche-Comté, 16, route de Gray, 25030 Besançon cedex, France
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 347 (2009) no. 15-16, pp. 873-878.

Dans cette Note on s'intéresse à l'équation H(Du)=H(0),x∈RN et plus précisément à la question suivante : dans quels cas les fonctions constantes sont-elles les seules solutions bornées de cette équation ? On démontre que tel est le cas sous des hypothèses de convexité et coercivité en dimension N quelconque. La preuve fait appel à la formule de Hopf–Lax. En une dimension d'espace on propose un résultat pour des hamiltoniens seulement faiblement coercifs moyennant une condition supplémentaire. Dans la dernière partie on utilise ces résultats pour identifier les limites asymptotiques en temps long des solutions des problèmes de Cauchy.

We study here the equation H(Du)=H(0),x∈RN. More precisely we investigate under which hypotheses the constant functions are the only bounded solutions. In arbitrary space dimension we prove that this happens when convexity and coercivity occur. In one space dimension we show that the above property holds true for Hamiltonians in a larger class. These results apply when studying the long time behaviour of solutions for time-dependent Hamilton–Jacobi equations.

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DOI : 10.1016/j.crma.2009.06.004
Mihaï Bostan 1 ; Gawtum Namah 1

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Mihaï Bostan; Gawtum Namah. Remarks on bounded solutions of steady Hamilton–Jacobi equations. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 347 (2009) no. 15-16, pp. 873-878. doi : 10.1016/j.crma.2009.06.004. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2009.06.004/

[1] G. Barles; P.E. Souganidis On the large time behavior of solutions of Hamilton–Jacobi equations, SIAM J. Math. Anal., Volume 31 (2001), pp. 925-939

[2] M. Bostan; G. Namah Time periodic viscosity solutions of Hamilton–Jacobi equations, Comm. Pure Appl. Anal., Volume 6 (2007), pp. 389-410

[3] P. Cannarsa; C. Sinestrari Semiconcave Functions, Hamilton–Jacobi Equations and Optimal Control, Birkhäuser, Boston, 2004

[4] L.C. Evans Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, RI, 1998

[5] P.-L. Lions Generalized Solutions of Hamilton–Jacobi Equations, Research Notes in Mathematics, Pitman, 1982

[6] J.-M. Roquejoffre Convergence to steady states or periodic solutions in a class of Hamilton–Jacobi equations, J. Math. Pures Appl., Volume 80 (2001), pp. 85-104

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