Comptes Rendus
Mathematical Problems in Mechanics
On a residual local projection method for the Darcy equation
[Une méthode de projection local résiduelle pour l'équation de Darcy]
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 347 (2009) no. 17-18, pp. 1105-1110.

On propose une nouvelle méthode de projection locale symétrique du type résiduel (RELP) pour l'équation de Darcy. La méthode est construite dans un cadre d'enrichissement des espaces d'interpolations par une approche du type Petrov–Galerkin, ce qui nous permet de modifier de façon naturelle la méthode de Galerkin et d'éviter le choix des constantes de stabilisation. L'approche d'enrichissement est basée sur la résolution de problèmes de Darcy locaux, qui dépendent des résidus après un procédé de condensation statique. On démontre que la méthode est stable pour les paires d'éléments finis linéaires continus et discontinus en pression. On établit, ensuite, l'optimalité de l'erreur dans les normes naturelles et on propose une stratégie de reconstruction de champ de vitesse localement conservatif. Les aspects théoriques sont validés numériquement.

A new symmetric local projection method built on residual bases (RELP) makes linear equal-order finite element pairs stable for the Darcy problem. The derivation is performed inside a Petrov–Galerkin enriching space approach (PGEM) which indicates parameter-free terms to be added to the Galerkin method without compromising consistency. Velocity and pressure spaces are augmented using solutions of residual dependent local Darcy problems obtained after a static condensation procedure. We prove the method achieves error optimality and indicates a way to recover a locally mass conservative velocity field. Numerical experiments validate theory.

Reçu le :
Accepté le :
Publié le :
DOI : 10.1016/j.crma.2009.06.016

Leopoldo P. Franca 1, 2 ; Christopher Harder 1 ; Frédéric Valentin 3

1 University of Colorado Denver, P.O. Box 17364, Campus Box 170, Denver, CO 80217-3364, USA
2 Department of Civil Engineering COPPE/UFRJ, P.O. Box 68506, 21945-970 Rio de Janeiro - RJ, Brazil
3 Laboratório Nacional de Computação Científica (LNCC), Av. Getúlio Vargas, 333, 25651-070 Petrópolis - RJ, Brazil
@article{CRMATH_2009__347_17-18_1105_0,
     author = {Leopoldo P. Franca and Christopher Harder and Fr\'ed\'eric Valentin},
     title = {On a residual local projection method for the {Darcy} equation},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {1105--1110},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {347},
     number = {17-18},
     year = {2009},
     doi = {10.1016/j.crma.2009.06.016},
     language = {en},
}
TY  - JOUR
AU  - Leopoldo P. Franca
AU  - Christopher Harder
AU  - Frédéric Valentin
TI  - On a residual local projection method for the Darcy equation
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2009
SP  - 1105
EP  - 1110
VL  - 347
IS  - 17-18
PB  - Elsevier
DO  - 10.1016/j.crma.2009.06.016
LA  - en
ID  - CRMATH_2009__347_17-18_1105_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Leopoldo P. Franca
%A Christopher Harder
%A Frédéric Valentin
%T On a residual local projection method for the Darcy equation
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2009
%P 1105-1110
%V 347
%N 17-18
%I Elsevier
%R 10.1016/j.crma.2009.06.016
%G en
%F CRMATH_2009__347_17-18_1105_0
Leopoldo P. Franca; Christopher Harder; Frédéric Valentin. On a residual local projection method for the Darcy equation. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 347 (2009) no. 17-18, pp. 1105-1110. doi : 10.1016/j.crma.2009.06.016. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2009.06.016/

[1] G.R. Barrenechea, F. Valentin, Consistent local projection stabilized finite element methods, Tech. Report 6/2009, LNCC, 2009

[2] F. Brezzi; M. Fortin Mixed and Hybrid Finite Element Methods, Springer Series in Computational Mathematics, vol. 15, Springer-Verlag, Berlin, New York, 1991

[3] E. Burman Pressure projection stabilizations for Galerkin approximations of Stokes' and Darcy's problem, Numerical Methods for Partial Differential Equations, Volume 24 (2008), pp. 127-143

[4] C. Dohrmann; P. Bochev A stabilized finite element method for the Stokes problem based on polynomial pressure projections, International Journal for Numerical Methods in Fluids, Volume 46 (2004), pp. 183-201

Cité par Sources :

This research was supported by NSF Grant No. 0610039, CNPq No. 306255/2008-1 and 304051/2006-3, FAPERJ No. E-26/100.519/2007 and Projeto Galileu, COPPE/UFRJ.

Commentaires - Politique