Comptes Rendus
no. 23-24
Number Theory
Parametrization of Abelian K-surfaces with quaternionic multiplication
[Paramétrisation des K-surfaces abéliennes à multiplication quaternionique]

Présenté par : Jean-Pierre Serre

Xavier Guitart1 ; Santiago Molina2
1 Departament de Matemàtica aplicada II, Universitat Politècnica de Catalunya, Jordi Girona 1-3 (Edifici Omega), 08034 Barcelona, Spain
2 Departament de Matemàtica aplicada IV, Universitat Politècnica de Catalunya, Av. Víctor Balaguer, s/n. 08800 Vilanova i la Geltrú, Spain
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 347 (2009) no. 23-24, pp. 1325-1330.

Nous démontrons que les K-surfaces abéliennes dont l'algèbre d'endomorphismes est une algèbre de quaternions sont paramétrisées, à isogénie près, par les points K-rationnels du quotient de certaines courbes de Shimura par le groupe de leurs involutions d'Atkin–Lehner.

We prove that the Abelian K-surfaces whose endomorphism algebra is a rational quaternion algebra are parametrized, up to isogeny, by the K-rational points of the quotient of certain Shimura curves by the group of their Atkin–Lehner involutions.

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DOI : 10.1016/j.crma.2009.09.025
Xavier Guitart 1 ; Santiago Molina 2

1 Departament de Matemàtica aplicada II, Universitat Politècnica de Catalunya, Jordi Girona 1-3 (Edifici Omega), 08034 Barcelona, Spain
2 Departament de Matemàtica aplicada IV, Universitat Politècnica de Catalunya, Av. Víctor Balaguer, s/n. 08800 Vilanova i la Geltrú, Spain 
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Xavier Guitart; Santiago Molina. Parametrization of Abelian K-surfaces with quaternionic multiplication. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 347 (2009) no. 23-24, pp. 1325-1330. doi : 10.1016/j.crma.2009.09.025. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2009.09.025/

[1] M. Bertolini; H. Darmon Hegner points on Mumford–Tate curves, Invent. Math., Volume 126 (1996), pp. 413-456

[2] P. Clark, Rational Points on Atkin–Lehner quotients of Shimura curves, Harvard PhD thesis, 2003

[3] N.D. Elkies On elliptic K-curves (J. Cremona; J.-C. Lario; J. Quer; K. Ribet, eds.), Modular Curves and Abelian Varieties, Progr. Math., vol. 224, Birkhäuser Verlag, Basel, 2004, pp. 81-91

[4] E. Pyle Abelian varieties over Q with large endomorphism algebras and their simple components over Q¯ (J. Cremona; J.-C. Lario; J. Quer; K. Ribet, eds.), Modular Curves and Abelian Varieties, Progr. Math., vol. 224, Birkhäuser Verlag, Basel, 2004, pp. 189-239

[5] K.A. Ribet Abelian varieties over Q and modular forms (J. Cremona; J.-C. Lario; J. Quer; K. Ribet, eds.), Modular Curves and Abelian Varieties, Progr. Math., vol. 224, Birkhäuser, Basel, 2004, pp. 241-261

[6] J.-P. Serre Sur les représentations modulaires de degré 2 de Gal(Q¯/Q), Duke Math. J., Volume 54 (1987) no. 1, pp. 179-230

[7] J.-P. Serre Trees, Springer-Verlag, Berlin–New York, 1980 (ix+142 pp) (ISBN: 3-540-10103-9)

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