Algebras of invariant differential operators on a class of multiplicity free spaces

Hubert Rubenthaler

doi:10.1016/j.crma.2009.10.015

Group Theory

Algebras of invariant differential operators on a class of multiplicity free spaces
[Algèbres d'opérateurs différentiels invariants associés à certains espaces sans multiplicités]

Présenté par : Michel Duflo

Hubert Rubenthaler ¹

¹ Institut de Recherche Mathématique Avancée, Université de Strasbourg et CNRS, 7, rue René-Descartes, 67084 Strasbourg cedex, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 347 (2009) no. 23-24, pp. 1343-1346.

Résumé
Abstract

Soit G un groupe algébrique réductif connexe et soit $G^{'} = [G, G]$ son groupe dérivé. Soit $(G, V)$ un espace sans multiplicités ayant un quotient unidimensionel (voir la définition ci-dessous). Nous montrons que l'algèbre $D {(V)}^{G^{'}}$ des opérateurs différentiels à coefficients poynomiaux $G^{'}$ -invariants sur V, est isomorphe à un quotient d'une algèbre de Smith sur son centre. Sur $C$ cette classe d'algèbres, avait été introduite par S.P. Smith (1990) comme une classe d'algèbres semblables à $U ({sl}_{2})$ . Notre résultat généralise le cas de la représentation de Weil, où l'algèbre associative engendrée par $Q (x)$ et $Q (\partial)$ (Q étant une forme quadratique non dégénérée sur V), est un quotient de $U ({sl}_{2})$ . D'autres résultats de structure sont obtenus lorsque $(G, V)$ est un espace préhomogène parabolique commutatif régulier.

Let G be a connected reductive algebraic group and let $G^{'} = [G, G]$ be its derived subgroup. Let $(G, V)$ be a multiplicity free representation with a one-dimensional quotient (see definition below). We prove that the algebra $D {(V)}^{G^{'}}$ of $G^{'}$ -invariant differential operators with polynomial coefficients on V, is a quotient of a so-called Smith algebra over its center. Over $C$ this class of algebras was introduced by S.P. Smith (1990) as a class of algebras similar to $U ({sl}_{2})$ . Our result generalizes the case of the Weil representation, where the associative algebra generated by $Q (x)$ and $Q (\partial)$ (Q being a non-degenerate quadratic form on V) is a quotient of $U ({sl}_{2})$ . Other structure results are obtained when $(G, V)$ is a regular prehomogeneous vector space of commutative parabolic type.

Reçu le : 2009-03-10
Accepté le : 2009-10-14
Publié le : 2009-10-30

DOI : 10.1016/j.crma.2009.10.015

Affiliations des auteurs :

Hubert Rubenthaler ¹

¹ Institut de Recherche Mathématique Avancée, Université de Strasbourg et CNRS, 7, rue René-Descartes, 67084 Strasbourg cedex, France

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Hubert Rubenthaler. Algebras of invariant differential operators on a class of multiplicity free spaces. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 347 (2009) no. 23-24, pp. 1343-1346. doi : 10.1016/j.crma.2009.10.015. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2009.10.015/

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Cité par Sources :

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