Sur une variété kählérienne compacte connexe de dimension 2m, ω étant la forme de Kähler, Ω une forme volume donnée dans et k un entier , on cherche à résoudre de façon unique dans l'équation en utilisant une notion de k-positivité pour (les cas extrêmes sont résolus : par Yau, trivialement). Nous résolvons par la méthode de continuité l'équation hessienne d'ordre k complexe elliptique correspondante sous l'hypothèse que la variété est à courbure bisectionnelle holomorphe non-négative, ici requise seulement pour établir un pincement a priori de valeurs propres.
On a compact connected 2m-dimensional Kähler manifold with Kähler form ω, given a volume form and an integer , we want to solve uniquely in the equation , relying on the notion of k-positivity for (the extreme cases are solved: by Yau, trivially). We solve by the continuity method the corresponding complex elliptic k-th Hessian equation under the assumption that the holomorphic bisectional curvature of the manifold is non-negative, required here only to derive an a priori eigenvalues pinching.
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@article{CRMATH_2010__348_1-2_41_0,
author = {Asma Jbilou},
title = {Equations hessiennes complexes sur des vari\'et\'es k\"ahl\'eriennes compactes},
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language = {fr},
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Asma Jbilou. Equations hessiennes complexes sur des variétés kählériennes compactes. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 348 (2010) no. 1-2, pp. 41-46. doi : 10.1016/j.crma.2009.11.011. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2009.11.011/
[1] Métriques riemanniennes et courbures, J. Diff. Geom., Volume 4 (1970), pp. 383-424
[2] Equations du type Monge–Ampère sur les variétés kählériennes compactes, C. R. Acad. Sci. Paris A, Volume 283 (1976), pp. 116-120
[3] Some Nonlinear Problems in Riemannian Geometry, Springer, 1998
[4] Einstein Manifolds, Springer, 1987
[5] Weak solutions to the complex Hessian equation, Ann. Inst. Fourier Grenoble, Volume 55 (2005), pp. 1735-1756
[6] Leçons Sur la Géométrie des Espaces de Riemann, Gauthier-Villars, 1946
[7] The Dirichlet problem for nonlinear second order elliptic equations, III: Functions of the eigenvalues of the Hessian, Acta Math., Volume 155 (1985), pp. 261-301
[8] Sur l'analogue presque-complexe de l'équation de Calabi–Yau, Osaka J. Math., Volume 33 (1996), pp. 829-846
[9] An inequality for hyperbolic polynomials, J. Math. and Mech., Volume 8 (1959), pp. 957-965
[10] Closed Weingarten hypersurfaces in Riemannian manifolds, J. Diff. Geom., Volume 43 (1996), pp. 612-641
[11] Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, Springer, 2001
[12] Z. Hou, Complex Hessian equation on Kähler manifold, Preprint, 24 December 2008, downloadable at: | arXiv
[13] A. Jbilou, Equations hessiennes complexes sur les variétés kählériennes compactes, Thèse, Univ. Nice Sophia-Antipolis (19 Février 2010)
[14] Foundations of Differential Geometry II, Interscience Publishers, 1969
[15] On the Dirichlet problems for symmetric function equations of the eigenvalues of the complex Hessian, Asian J. Math., Volume 8 (2004), pp. 87-106
[16] On some inequalities for elementary symmetric functions, Bull. Austral. Math. Soc., Volume 50 (1994), pp. 317-326
[17] Nonlinear elliptic equations and the complex Hessian, Comm. PDE, Volume 13 (1988), pp. 1467-1497
[18] On the Ricci curvature of a compact Kähler manifold and the complex Monge–Ampère equations. I, Comm. Pure Appl. Math., Volume 31 (1978), pp. 339-441
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