A property of the spectra of non-Pisot numbers

Toufik Zaïmi

doi:10.1016/j.crma.2010.01.016

Number Theory

A property of the spectra of non-Pisot numbers
[Une propriété du spectre des réels autres que les nombres de Pisot]

Présenté par : Jean-Pierre Kahane

Toufik Zaïmi ¹

¹ Département de mathématiques, Université Larbi Ben M'hidi, Oum El Bouaghi 04000, Algeria

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 348 (2010) no. 3-4, pp. 121-124.

Résumé
Abstract

Soient θ un nombre réel satisfaisant $1 < θ < 2$ , m un entier rationnel positif et $B_{m} (θ)$ l'ensemble des réels $P (θ)$ pour P décrivant les polynômes à coefficients dans ${0, \pm 1, \dots, \pm m}$ . On montre que $B_{m} (θ)$ est partout dense lorsque 0 est un élément de l'ensemble dérivé $B_{m}^{'} (θ)$ de $B_{m} (θ)$ . On prouve également que si $B_{m}^{'} (θ) \cap [0$ , $\frac{1}{θ} \prod_{k ⩾ 0} (1 - \frac{1}{θ^{2^{k}}})] = \emptyset$ , alors $B_{m} (θ)$ est discret.

Let θ be a real number satisfying $1 < θ < 2$ , m a positive rational integer and $B_{m} (θ)$ the set of polynomials with coefficients in ${0, \pm 1, \dots, \pm m}$ , evaluated at θ. We prove that $B_{m} (θ)$ is everywhere dense when $0 \in B_{m}^{'} (θ)$ , where $B_{m}^{'} (θ)$ is the derivative set of $B_{m} (θ)$ . We also show that if $B_{m}^{'} (θ) \cap [0$ , $\frac{1}{θ} \prod_{k ⩾ 0} (1 - \frac{1}{θ^{2^{k}}})] = \emptyset$ , then $B_{m} (θ)$ is discrete.

Reçu le : 2009-05-11
Accepté le : 2010-01-08
Publié le : 2010-02-01

DOI : 10.1016/j.crma.2010.01.016

Affiliations des auteurs :

Toufik Zaïmi ¹

¹ Département de mathématiques, Université Larbi Ben M'hidi, Oum El Bouaghi 04000, Algeria

@article{CRMATH_2010__348_3-4_121_0,
     author = {Toufik Za{\"\i}mi},
     title = {A property of the spectra of {non-Pisot} numbers},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {121--124},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {348},
     number = {3-4},
     year = {2010},
     doi = {10.1016/j.crma.2010.01.016},
     language = {en},
}

TY  - JOUR
AU  - Toufik Zaïmi
TI  - A property of the spectra of non-Pisot numbers
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2010
SP  - 121
EP  - 124
VL  - 348
IS  - 3-4
PB  - Elsevier
DO  - 10.1016/j.crma.2010.01.016
LA  - en
ID  - CRMATH_2010__348_3-4_121_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Toufik Zaïmi
%T A property of the spectra of non-Pisot numbers
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2010
%P 121-124
%V 348
%N 3-4
%I Elsevier
%R 10.1016/j.crma.2010.01.016
%G en
%F CRMATH_2010__348_3-4_121_0

Toufik Zaïmi. A property of the spectra of non-Pisot numbers. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 348 (2010) no. 3-4, pp. 121-124. doi : 10.1016/j.crma.2010.01.016. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2010.01.016/

Bibliographie
Cité par

[1] P. Borwein; K.G. Hare Some computations on the spectra of Pisot and Salem numbers, Math. Comp., Volume 71 (2002), pp. 767-780

[2] Y. Bugeaud On a property of Pisot numbers and related questions, Acta Math. Hungar., Volume 73 (1996), pp. 33-39

[3] P. Erdős; I. Joó; V. Komornik Characterization of the unique expansion $1 = \sum_{i ⩾ 1} q^{- n_{i}}$ and related problems, Bull. Soc. Math. France, Volume 118 (1990), pp. 377-390

[4] P. Erdős; I. Joó; F.J. Schnitzer On Pisot numbers, Ann. Univ. Sci. Budapest, Volume 39 (1996), pp. 95-99

[5] P. Erdős; V. Komornik Developments in non-integer bases, Acta Math. Hungar., Volume 79 (1998), pp. 57-83

[6] T. Zaïmi Approximation by polynomials with bounded coefficients, J. Number Theory, Volume 127 (2007), pp. 103-117

[7] T. Zaïmi Une remarque sur le spectre des nombres de Pisot, C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I, Volume 347 (2009), pp. 5-8

Cité par Sources :

Commentaires - Politique

Ces articles pourraient vous intéresser

Une remarque sur le spectre des nombres de Pisot

Toufik Zaïmi

C. R. Math (2009)

Complex Pisot numbers in algebraic number fields

Marie José Bertin; Toufik Zaïmi

C. R. Math (2015)