Comptes Rendus
no. 11-12
Dynamical Systems
Topological equivalence of vector fields after blow-up
[Équivalence topologique de champs de vecteurs après éclatement]

Présenté par : Étienne Ghys

Clementa Alonso-González1
1 Dpto. Estadística e Investigación Operativa, Universidad de Alicante, 03690 San Vicente del Raspeig, Alicante, Spain
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 348 (2010) no. 11-12, pp. 673-676.

Nous donnons un théorème de caractérisation pour la propriété d'être topologiquement équivalents après éclatement dans l'ensemble des germes de champ de vecteurs hyperboliques en dimension trois. Etant donnés deux tels germes ξ, ξ′, et Φ une suite d'éclatements de l'espace ambiant, on trouve, sous des conditions de non-résonance associées à Φ, un critère permettant de déterminer s'il existe une équivalence topologique entre ξ et ξ′ se relevant à Φ. Nous en déduisons qu'il n'y a qu'un nombre fini de classes de Φ-équivalence topologique dans l'ensemble des champs de vecteurs considéré.

We give a theorem of characterization for the property of being topologically equivalent after blow-up in the set of germs of three-dimensional hyperbolic vector fields. Given ξ, ξ′ two such a germs and Φ a finite sequence of blow-ups of the ambient space, we find, under non-resonance conditions associated to Φ, a criterion that permits to determine if there is a topological equivalence between ξ and ξ′ that lifts to Φ. We deduce that there are only finitely many possible classes of Φ-topological equivalence in the considered set of vector fields.

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DOI : 10.1016/j.crma.2010.04.019
Clementa Alonso-González 1

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Clementa Alonso-González. Topological equivalence of vector fields after blow-up. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 348 (2010) no. 11-12, pp. 673-676. doi : 10.1016/j.crma.2010.04.019. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2010.04.019/

[1] C. Alonso-González Topological classification for chains of saddle connections, J. Diff. Equations, Volume 208 (2005), pp. 275-291

[2] C. Alonso-González; M.I. Camacho; F. Cano Topological equivalence for multiple saddle connections, Discrete Continuous Dyn. Syst., Volume 15 (2006), pp. 395-414

[3] C. Alonso-González; M.I. Camacho; F. Cano Topological invariants for singularities of real vector fields in dimension three, Discrete Continuous Dyn. Syst., Volume 20 (2008), pp. 823-847

[4] C. Camacho; F. Cano; P. Sad Desingularization of absolutely isolated singularities of vector fields, Invent. Math., Volume 98 (1989), pp. 351-369

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[6] H. Poincaré Oeuvres, vol. I., Paris, 1928

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