Comptes Rendus
no. 15-16
Differential Geometry
Lie bialgebroids of generalized CRF-manifolds
[Bi-algébroïdes de Lie des variétés CRF généralisées]

Présenté par : Charles-Michel Marle

Yat Sun Poon1 ; Aïssa Wade2
1 Department of Mathematics, University of California at Riverside, CA 92521, USA
2 Department of Mathematics, Penn State University, University Park, PA 16802, USA
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 348 (2010) no. 15-16, pp. 919-922.

La notion de structure CRF généralisée sur une variété lisse a été récemment introduite et étudiée par Vaisman (2008) [6]. Une classe importante de structures CRF généralisées sur une variété M de dimension impaire est constituée de structures CRF généralisées ayant des repères supplémentaires de la forme ξ±η, où ξ est un champ de vecteurs et η est une 1-forme differentielle sur M avec η(ξ)=1. Il s'avère que ces types de structures CRF généralisées donnent lieu à une classe spéciale de structures que nous avons appelées des structures de contact généralisées fortes dans Poon et Wade [5]. Plus précisément, nous montrons qu'à toute structure CRF généralisée ayant des repères supplémentaires de la forme ξ±η, il correspond un bi-algèbroïde de Lie canonique. Finalement, nous expliquons la relation entre les structures de contact généralisées et une autre généralisation de la notion de structure-CR (Cauchy–Riemann) sur une variété.

The notion of a generalized CRF-structure on a smooth manifold was recently introduced and studied by Vaisman (2008) [6]. An important class of generalized CRF-structures on an odd dimensional manifold M consists of CRF-structures having complementary frames of the form ξ±η, where ξ is a vector field and η is a 1-form on M with η(ξ)=1. It turns out that these kinds of CRF-structures give rise to a special class of what we called strong generalized contact structures in Poon and Wade [5]. More precisely, we show that to any CRF-structures with complementary frames of the form ξ±η, there corresponds a canonical Lie bialgebroid. Finally, we explain the relationship between generalized contact structures and another generalization of the notion of a Cauchy–Riemann structure on a manifold.

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DOI : 10.1016/j.crma.2010.07.005
Yat Sun Poon 1 ; Aïssa Wade 2

1 Department of Mathematics, University of California at Riverside, CA 92521, USA
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Yat Sun Poon; Aïssa Wade. Lie bialgebroids of generalized CRF-manifolds. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 348 (2010) no. 15-16, pp. 919-922. doi : 10.1016/j.crma.2010.07.005. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2010.07.005/

[1] T. Courant Dirac structures, Trans. Amer. Math. Soc., Volume 319 (1990), pp. 631-661

[2] D. Li-Bland AV-Courant algebroids and generalized CR-structures (preprint) | arXiv

[3] Z.J. Liu; A. Weinstein; P. Xu Manin triples for Lie bialgebroids, J. Differential Geom. (1997), pp. 547-574

[4] Y.S. Poon; A. Wade Approaches to generalize contact structures, Pure Appl. Math. Quat. (PAMQ), Volume 6.2 (2010), pp. 603-622

[5] Y.S. Poon; A. Wade Generalized contact structures (J. London Math. Soc., in press) | arXiv

[6] I. Vaisman Generalized CRF-structures, Dedicata, Volume 133 (2008), pp. 129-154

[7] I. Vaisman Isotropic subbundles of TM⊕T∗M, Methods Mod. Phys., Volume 4 (2007), pp. 487-516

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