Comptes Rendus
Mathematical Physics
Uniqueness of Kottler spacetime and the Besse conjecture
[Unicité de l'espace-temps de Kottler et conjecture de Besse]
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 348 (2010) no. 19-20, pp. 1129-1132.

Nous démontrons un théorème d'unicité pour l'espace-temps de Schwarzschild–de Sitter, ou espace-temps de Kottler, lequel satisfait aux équations d'Einstein de la relativité générale avec constante cosmologique positive. Notre résultat couvre la classe d'espaces-temps vides et statiques dont les hypersurfaces de type espace sont compactes et pour lesquels le niveau maximal de la fonction « lapse » est régulier. Nous obtenons une caractérisation du domaine de communication intérieur limité par un horizon « intérieur » et un horizon cosmologique. La démonstration combine des arguments de la théorie des équations aux dérivées partielles et de la géométrie différentielle, et est centré sur l'étude d'un feuilletage qui peut a priori être singulier. Nous appliquons aussi notre technique en géométrie riemannienne, et établisssons la validité de la conjecture de Besse.

We establish a black hole uniqueness theorem for Schwarzschild–de Sitter spacetime, also called Kottler spacetime, which satisfies Einstein's field equations of general relativity with positive cosmological constant. Our result concerns the class of static vacuum spacetimes with compact spacelike slices and regular maximal level set of the lapse function. We provide a characterization of the interior domain of communication of the Kottler spacetime, which surrounds an inner horizon and is surrounded by a cosmological horizon. The proof combines arguments from the theory of partial differential equations and differential geometry, and is centered on a detailed study of a possibly singular foliation. We also apply our technique in the Riemannian setting, and establish the validity of the so-called Besse conjecture.

Reçu le :
Accepté le :
Publié le :
DOI : 10.1016/j.crma.2010.09.010

Philippe G. LeFloch 1 ; Luc Rozoy 2

1 Laboratoire Jacques-Louis Lions & Centre national de la recherche scientifique, Université Pierre et Marie Curie (Paris 6), 4, place Jussieu, 75252 Paris cedex 05, France
2 Institut Fourier, université de Grenoble, 38402 Saint-Martin d'Hères, France
@article{CRMATH_2010__348_19-20_1129_0,
     author = {Philippe G. LeFloch and Luc Rozoy},
     title = {Uniqueness of {Kottler} spacetime and the {Besse} conjecture},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {1129--1132},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {348},
     number = {19-20},
     year = {2010},
     doi = {10.1016/j.crma.2010.09.010},
     language = {en},
}
TY  - JOUR
AU  - Philippe G. LeFloch
AU  - Luc Rozoy
TI  - Uniqueness of Kottler spacetime and the Besse conjecture
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2010
SP  - 1129
EP  - 1132
VL  - 348
IS  - 19-20
PB  - Elsevier
DO  - 10.1016/j.crma.2010.09.010
LA  - en
ID  - CRMATH_2010__348_19-20_1129_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Philippe G. LeFloch
%A Luc Rozoy
%T Uniqueness of Kottler spacetime and the Besse conjecture
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2010
%P 1129-1132
%V 348
%N 19-20
%I Elsevier
%R 10.1016/j.crma.2010.09.010
%G en
%F CRMATH_2010__348_19-20_1129_0
Philippe G. LeFloch; Luc Rozoy. Uniqueness of Kottler spacetime and the Besse conjecture. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 348 (2010) no. 19-20, pp. 1129-1132. doi : 10.1016/j.crma.2010.09.010. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2010.09.010/

[1] R. Beig; W. Simon On the uniqueness of static perfect-fluid solutions in general relativity, Comm. Math. Phys., Volume 144 (1992), pp. 373-390

[2] A.L. Besse Einstein Manifolds, Ergeb. Math. Grenzgeb., vol. 10, Springer Verlag, 1987

[3] S.W. Hawking Black holes in general relativity, Comm. Math. Phys., Volume 25 (1972), pp. 152-166

[4] W. Israel Event horizons in static vacuum spacetimes, Phys. Rev., Volume 164 (1967), pp. 1776-1779

[5] O. Kobayashi Scalar curvature of a metric with unit volume, Math. Ann., Volume 279 (1987), pp. 253-265

[6] F. Kottler Uber die physikalischen Grundlagen der Einsteinschen Gravitation theori, Ann. Phys., Volume 56 (1918), pp. 401-402

[7] J. Lafontaine Sur la géométrie d'une généralisation de l'équation différentielle d'Obata, J. Math. Pures Appl., Volume 62 (1983), pp. 63-72

[8] P.G. LeFloch, L. Rozoy, A uniqueness theorem for Schwarzschild–de Sitter spacetime, in preparation.

[9] P.G. LeFloch, L. Rozoy, in preparation.

[10] L. Lindblom Static uniform-density stars must be spherical in general relativity, J. Math. Phys., Volume 29 (1988), pp. 436-439

[11] M. Obata Certain conditions for a Riemannian manifold to be isometric with a sphere, J. Math. Soc. Japan, Volume 14 (1962), pp. 333-340

Cité par Sources :

Commentaires - Politique