Internal rectification for elastic surface waves

Alice Marcou

doi:10.1016/j.crma.2011.07.008

Partial Differential Equations

Internal rectification for elastic surface waves
[Rectification interne dʼondes de surface élastiques]

Présenté par : Gérard Iooss

Alice Marcou ¹

¹ Université de Bordeaux, IMB, 33405 Talence cedex, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 349 (2011) no. 23-24, pp. 1239-1244.

Résumé
Abstract

On prouve que des ondes de surface élastiques rapidement oscillantes peuvent produire un déplacement interne non oscillant non trivial.

On considère des ondes de surface élastiques de la forme, sur $y > 0$ :

U^{ε} (t, x, y) \sim \sum_{k = 2}^{\infty} ε^{k} U_{k} (t, x, y, \frac{x - c t}{ε}, \frac{y}{ε}),

avec des profils

U_{k} (t, x, y, Y, θ) = {\underset{̲}{U}}_{k} (t, x, y) + U_{k}^{⁎} (t, x, θ, Y)

, où

U_{k}^{⁎}

est périodique en θ et exponentiellement décroissant vers 0 en Y.

On prouve que, en général, le correcteur $U_{3}$ nʼest pas purement localisé près de la frontière, cʼest-à-dire ${\underset{̲}{U}}_{3}$ nʼest pas nul. $U_{3}$ dépend de la variable lente y et ne décroît pas vers 0 lorsque Y tend vers +∞, même si les termes source sont exponentiellement décroissants vers 0.

We prove that fast oscillatory elastic surface waves can produce nontrivial internal nonoscillatory displacements.

We consider elastic surface waves of the form, in $y > 0$ :

U^{ε} (t, x, y) \sim \sum_{k = 2}^{\infty} ε^{k} U_{k} (t, x, y, \frac{x - c t}{ε}, \frac{y}{ε}),

with profiles

U_{k} (t, x, y, Y, θ) = {\underset{̲}{U}}_{k} (t, x, y) + U_{k}^{⁎} (t, x, θ, Y)

, where

U_{k}^{⁎}

is periodic in θ and exponentially decaying to 0 in Y.

We prove that, in general, the corrector $U_{3}$ is not purely localized near the boundary, that is ${\underset{̲}{U}}_{3}$ does not vanish. $U_{3}$ depends on the slow variable y and does not decay to 0 when Y tends to +∞, even if the source terms are exponentially decaying to 0.

Reçu le : 2011-05-11
Accepté le : 2011-07-07
Publié le : 2011-11-09

DOI : 10.1016/j.crma.2011.07.008

Affiliations des auteurs :

Alice Marcou ¹

¹ Université de Bordeaux, IMB, 33405 Talence cedex, France

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Alice Marcou. Internal rectification for elastic surface waves. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 349 (2011) no. 23-24, pp. 1239-1244. doi : 10.1016/j.crma.2011.07.008. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2011.07.008/

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