Comptes Rendus
no. 23-24
Partial Differential Equations
A level set reduced basis approach to parameter estimation
[Une méthode à bases réduites du type « level set » pour estimer des paramètres]

Présenté par : Philippe G. Ciarlet

Martin A. Grepl1 ; Karen Veroy2
1 Institut für Geometrie und Praktische Mathematik (IGPM), RWTH Aachen University, 52056 Aachen, Germany
2 Aachen Institute for Advanced Study in Computational Engineering Science (AICES), RWTH Aachen University, 52056 Aachen, Germany
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 349 (2011) no. 23-24, pp. 1229-1232.

Nous présentons ici une recette « level set » efficace pour résoudre des problèmes dʼestimation de paramètres régis par des équations aux dérivées partielles. Ses ingrédients principaux sont : (i) une « région admissible » sur laquelle procéder à lʼestimation du paramètre ; (ii) la méthode éprouvée des bases réduites pour obtenir une solution efficace et fiable des équations paramétrées aux dérivées partielles ; et (iii) une méthode « level set » sur lʼespace des paramètres permettant de construire la « région admissible ». Cette méthode peut aussi sʼappliquer à des régions multi-connectées ou non-convexes. La flexibilité de notre approche est démontrée à travers les résultats numériques obtenus lors de lʼétude dʼun problème de design et de celle dʼun problème inversé.

We introduce an efficient level set framework to parameter estimation problems governed by parametrized partial differential equations. The main ingredients are: (i) an “admissible region” approach to parameter estimation; (ii) the certified reduced basis method for efficient and reliable solution of parametrized partial differential equations; and (iii) a parameter-space level set method for construction of the admissible region. The method can handle nonconvex and multiply connected regions. Numerical results for two examples in design and inverse problems illustrate the versatility of the approach.

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DOI : 10.1016/j.crma.2011.10.020
Martin A. Grepl 1 ; Karen Veroy 2

1 Institut für Geometrie und Praktische Mathematik (IGPM), RWTH Aachen University, 52056 Aachen, Germany
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Martin A. Grepl; Karen Veroy. A level set reduced basis approach to parameter estimation. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 349 (2011) no. 23-24, pp. 1229-1232. doi : 10.1016/j.crma.2011.10.020. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2011.10.020/

[1] M.A. Grepl, Reduced-basis approximations and a posteriori error estimation for parabolic partial differential equations, PhD thesis, Massachusetts Institute of Technology, May 2005.

[2] M.A. Grepl, N.C. Nguyen, K. Veroy, A.T. Patera, G.R. Liu, Certified rapid solution of partial differential equations for real-time parameter estimation and optimization, in: L. Biegler, O. Ghattas, M. Heinkenschloss, D. Keyes, B. van Bloemen Waanders (Eds.), Real-Time PDE-Constrained Optimization, in: SIAM Computational Science and Engineering Book Series, 2007, pp. 197–215.

[3] D.B.P. Huynh, D.J. Knezevic, A.T. Patera, Certified reduced basis model characterization: a frequentistic uncertainty framework, Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. (2011), . | DOI

[4] M. Mitchell The flexible, extensible and efficient toolbox of level set methods, J. Sci. Comput., Volume 35 (2008), pp. 300-329

[5] S. Osher; J.A. Sethian Fronts propagating with curvature-dependent speed: algorithms based on Hamilton–Jacobi formulations, J. Comput. Phys., Volume 79 (1988), pp. 12-49

[6] G. Rozza; D. Huynh; A.T. Patera Reduced basis approximation and a posteriori error estimation for affinely parametrized elliptic coercive partial differential equations, Arch. Comput. Meth. Eng., Volume 15 (2007) no. 3, pp. 229-275

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