On the Kostant conjecture for Clifford algebras

Anton Alekseev; Anne Moreau

doi:10.1016/j.crma.2011.11.018

Lie Algebras

On the Kostant conjecture for Clifford algebras

Presented by: Michèle Vergne

Anton Alekseev ¹; Anne Moreau ²

¹ Section de mathématiques, université de Genève, 2–4, rue du Lièvre, c.p. 64, CH-1211 Genève 4, Switzerland
² Laboratoire de mathématiques et applications, université de Poitiers, téléport 2, 11, boulevard Marie-et-Pierre-Curie, BP 30179, 86962 Futuroscope Chasseneuil cedex, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 350 (2012) no. 1-2, pp. 13-18.

Abstract
Résumé

Let $g$ be a complex simple Lie algebra, and $h \subset g$ be a Cartan subalgebra. In the end of 1990s, B. Kostant defined two filtrations on $h$ , one using the Clifford algebras and the odd analogue of the Harish-Chandra projection ${hc}_{odd} : Cl (g) \to Cl (h)$ , and the other one using the canonical isomorphism $\overset{ˇ}{h} = h^{⁎}$ (here $\overset{ˇ}{h}$ is the Cartan subalgebra in the simple Lie algebra $\overset{ˇ}{g}$ corresponding to the dual root system) and the adjoint action of the principal ${sl}_{2}$ -triple. Kostant conjectured that the two filtrations coincide.

Recently, A. Joseph proved that the second Kostant filtration coincides with the filtration on $h$ induced by the generalized Harish-Chandra projection ${(U g \otimes g)}^{g} \to S h \otimes h$ and the evaluation at $ρ \in h^{⁎}$ . In this Note, we prove that Josephʼs result is equivalent to the Kostant Conjecture. We also show that the standard Harish-Chandra projection $U g \to S h$ composed with evaluation at ρ induces the same filtration on $h$ .

Soient $g$ une algèbre de Lie simple complexe, et $h \subset g$ une sous-algèbre de Cartan. Vers la fin des années 1990, B. Kostant définit deux filtrations sur $h$ ; la première utilise les algèbres de Clifford et lʼanalogue impair de la projection de Harish-Chandra ${hc}_{odd} : Cl (g) \to Cl (h)$ , la seconde lʼisomorphisme canonique $\overset{ˇ}{h} = h^{⁎}$ (ici, $\overset{ˇ}{h}$ est la sous-algèbre de Cartan dans lʼalgèbre de Lie simple $\overset{ˇ}{g}$ correspondant au système de racines dual) et lʼaction adjointe du ${sl}_{2}$ -triplet principal. Kostant conjectura que ces deux filtrations coïncident.

Récemment, A. Joseph a démontré que la seconde filtration de Kostant coïncidait avec la filtration sur $h$ induite par la projection de Harish-Chandra généralisée ${(U g \otimes g)}^{g} \to S h \otimes h$ et lʼévaluation au point $ρ \in h^{⁎}$ . Dans cette Note, nous montrons que le résultat de Joseph est équivalent à la conjecture de Kostant. Nous obtenons de plus que la projection de Harish-Chandra standard $U g \to S h$ composée avec lʼévaluation au point ρ induit la même filtration sur $h$ .

Received: 2011-11-23
Accepted: 2011-11-29
Published online: 2012-01-01

DOI: 10.1016/j.crma.2011.11.018

Author's affiliations:

Anton Alekseev ¹; Anne Moreau ²

¹ Section de mathématiques, université de Genève, 2–4, rue du Lièvre, c.p. 64, CH-1211 Genève 4, Switzerland
² Laboratoire de mathématiques et applications, université de Poitiers, téléport 2, 11, boulevard Marie-et-Pierre-Curie, BP 30179, 86962 Futuroscope Chasseneuil cedex, France

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Anton Alekseev; Anne Moreau. On the Kostant conjecture for Clifford algebras. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 350 (2012) no. 1-2, pp. 13-18. doi : 10.1016/j.crma.2011.11.018. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2011.11.018/

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