Random attractors for stochastic porous media equations perturbed by space–time linear multiplicative noise

Benjamin Gess

doi:10.1016/j.crma.2012.02.004

Probability Theory/Partial Differential Equations

Random attractors for stochastic porous media equations perturbed by space–time linear multiplicative noise
[Attracteurs aléatoires pour des équations aux milieux poreux stochastiques perturbés par un bruit linéaire multiplicatif, distribué dans lʼespace et le temps]

Présenté par : Alain Bensoussan

Benjamin Gess ¹

¹ Faculty of Mathematics, University of Bielefeld, 33615 Bielefeld, Germany

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 350 (2012) no. 5-6, pp. 299-302.

Résumé
Abstract

Lʼexistence et lʼunicité des solutions des équations aux milieux poreux pilotés par des « rough paths », continus, linéaire multiplicatifs et distribués dans lʼespace et le temps sont démontrées pour des conditions initiales dans $L^{1} (O)$ . On obtient la génération dʼun système dynamique aléatoire continu et monotone dans $L^{1} (O)$ ainsi que lʼexistence dʼun « petit » attracteur aléatoire pour des équations aux milieux poreux stochastiques perturbés par un bruit linéaire multiplicatif, distribué dans lʼespace et le temps. Des bornes uniformes dans $L^{\infty} (O)$ et la continuité uniforme des solutions dans lʼespace et le temps sont démontrées. Le cas dʼun bruit généralisé, y compris le mouvement Brownien fractionnaire pour tous les paramétres de Hurst est contenu. Un résultat trajectoire du type Wong–Zakai pour un bruit mené par une semimartingale continue est obtenu.

Unique existence of solutions to porous media equations driven by continuous linear multiplicative space–time rough signals is proven for initial data in $L^{1} (O)$ . The generation of a continuous, order-preserving random dynamical system (RDS) on $L^{1} (O)$ and the existence of a “small” random attractor for stochastic porous media equations perturbed by linear multiplicative noise in space and time is obtained. Uniform $L^{\infty}$ bounds and uniform space–time continuity of solutions is shown. General noise including fractional Brownian Motion for all Hurst parameters is contained. A pathwise Wong–Zakai result for driving noise given by a continuous semimartingale is obtained.

Reçu le : 2011-08-13
Accepté le : 2012-02-07
Publié le : 2012-02-23

DOI : 10.1016/j.crma.2012.02.004

Affiliations des auteurs :

Benjamin Gess ¹

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Benjamin Gess. Random attractors for stochastic porous media equations perturbed by space–time linear multiplicative noise. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 350 (2012) no. 5-6, pp. 299-302. doi : 10.1016/j.crma.2012.02.004. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2012.02.004/

Bibliographie
Cité par

[1] V. Barbu; M. Röckner On a random scaled porous media equation, J. Differential Equations, Volume 251 (2011) no. 9, pp. 2494-2514

[2] I. Chueshov Monotone Random Systems Theory and Applications, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1779, Springer-Verlag, Berlin, 2002

[3] E. DiBenedetto Continuity of weak solutions to a general porous medium equation, Indiana Univ. Math. J., Volume 32 (1983) no. 1, pp. 83-118

[4] B. Gess Random attractors for stochastic porous media equations perturbed by space–time linear multiplicative noise, 2011 | arXiv

[5] S.-E.A. Mohammed; T. Zhang; H. Zhao The stable manifold theorem for semilinear stochastic evolution equations and stochastic partial differential equations, Mem. Amer. Math. Soc., Volume 196 (2008) no. 917 (pp. vi+105)

[6] E. Wong; M. Zakai On the convergence of ordinary integrals to stochastic integrals, Ann. Math. Statist., Volume 36 (1965), pp. 1560-1564

Cité par Sources :

^☆ A more detailed account of the results presented here can be found in (Gess, 2011 [4]).

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