Comptes Rendus
no. 3
Probability Theory/Partial Differential Equations
Semimartingale attractors for generalized Allen–Cahn SPDEs driven by space–time white noise
[Attracteurs semimartingales pour des EDPS d'Allen–Cahn généralisées dirigées par le bruit blanc spatio–temporel]

Présenté par : Marc Yor

Hassan Allouba1 ; José A. Langa2
1 Department of Mathematical Sciences, Kent State University, Kent, OH 44242, USA
2 Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico, Universidad de Sevilla, Apdo. Correos 1160, 41080 Sevilla, Spain
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 337 (2003) no. 3, pp. 201-206.

Nous introduisons la notion d'attracteur semimartingale associé aux EDPS d'Allen–Cahn généralisées dirigées par un bruit blanc spatio–temporel. Nous traitons notre bruit dans le cadre de mesure martingale, et nous donnons un résultat d'existence pour ce type d'attracteurs pour ces EDPS d'Allen–Cahn généralisées. Cette Note discute des attracteurs semimartingales fonctionnels, mais notre cadre du bruit mene aussi naturellement à un type lié d'attracteurs aléatoires que nous appelons attracteurs de mesure semimartingale et que nous détaillerons dans un prochain article. En outre, les preuves détaillées, avec d'autres propriétés d'attracteurs semimartingales et des extensions de notre resultat appliquées à différents types d'EDPS, seront aussi fournies dans ce prochain article.

We introduce the notion of a semimartingale attractor associated with space–time white noise driven generalized Allen–Cahn SPDEs. We treat the driving noise in the martingale measure setting, and we give an existence result for this type of random attractors for these generalized Allen–Cahn SPDEs in our setting. This Note focuses on semimartingale functional attractors, but our noise setting also leads naturally to a related type of random attractors that we call semimartingale measure attractors and which we detail in an upcoming article. Detailed proofs and extensions of our result, as well as other properties of semimartingale attractors, for different types of SPDEs are also furnished in the follow-up article.

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DOI : 10.1016/S1631-073X(03)00312-1
Hassan Allouba 1 ; José A. Langa 2

1 Department of Mathematical Sciences, Kent State University, Kent, OH 44242, USA
2 Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico, Universidad de Sevilla, Apdo. Correos 1160, 41080 Sevilla, Spain 
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Hassan Allouba; José A. Langa. Semimartingale attractors for generalized Allen–Cahn SPDEs driven by space–time white noise. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 337 (2003) no. 3, pp. 201-206. doi : 10.1016/S1631-073X(03)00312-1. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/S1631-073X(03)00312-1/

[1] H. Allouba Uniqueness in law for the Allen–Cahn SPDE via change of measure, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 330 (2000) no. 5, pp. 371-376

[2] H. Allouba Different types of SPDEs in the eyes of Girsanov's theorem, Stochastic Anal. Appl., Volume 16 (1998) no. 5, pp. 787-810

[3] H. Allouba, J.A. Langa, Semimartingale attractors for different types of SPDEs driven by space–time white noise: existence, decomposition, and dimension, in preparation

[4] L. Arnold Random Dynamical Systems, Springer Monographs in Math., Springer, Berlin, 1998

[5] T. Caraballo; J.A. Langa; J.C. Robinson Upper semicontinuity of attractors for small random perturbations of dynamical systems, Comm. Partial Differential Equations, Volume 23 (1998), pp. 1557-1581

[6] H. Crauel; F. Flandoli Attractors for random dynamical systems, Probab. Theory Related Fields, Volume 100 (1994), pp. 365-393

[7] H. Crauel; A. Debussche; F. Flandoli Random attractors, J. Dynamics Differential Equations, Volume 9 (1997), pp. 307-341

[8] G. Da Prato; A. Debussche; R. Temam Stochastic Burgers' equation, Nonlinear Differential Equations Appl., Volume 1 (1994), pp. 389-402

[9] A. Friedman Partial Differential Equations of Parabolic Type, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1964

[10] B. Schmalfuss Backward cocycles and attractors of stochastic differential equations (V. Reitmann; T. Riedrich; N. Koksch, eds.), International Seminar on Applied Mathematics–Nonlinear Dynamics: Attractor Approximation and Global Behaviour, 1992, pp. 185-192

[11] R. Temam Infinite-Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics, Springer-Verlag, New York, 1997

[12] J.B. Walsh An introduction to stochastic partial differential equations. École d'Eté de Probabilités de Saint-Flour XIV, Lecture Notes in Math., 1180, Springer, New York, 1986

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