Comptes Rendus
Combinatoire
Sous-tournois isomorphes à W5 dans un tournoi indécomposable
[Subtournaments isomorphic to W5 in an indecomposable tournament]
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 350 (2012) no. 7-8, pp. 333-337.

We consider a tournament T=(V,A). For each subset X of V is associated the subtournament T(X)=(X,A(X×X)) of T induced by X. We say that a tournament T embeds into a tournament T when T is isomorphic to a subtournament of T. A subset X of V is an interval of T provided that for a,bX and xVX, (a,x)A if and only if (b,x)A. For example, ∅, {x} (xV) and V are intervals of T, called trivial intervals. A tournament is indecomposable if all its intervals are trivial. In 2003, B.J. Latka characterized the class T of the indecomposable tournaments into which a certain tournament W5 on 5 vertices does not embed. In the case of an indecomposable tournament T, we study the set W5(T) of vertices xV for which there exists a subset X of V such that xX and T(X) is isomorphic to W5. We prove the following: for any indecomposable tournament T, if TT, then |W5(T)||V|2 and |W5(T)||V|1 if |V| is even. By giving examples, we also verify that this statement is optimal.

Considérons un tournoi T=(S,A). À chaque partie X de S est associé le sous-tournoi T(X)=(X,A(X×X)) de T induit par X. On dit que le tournoi T abrite un tournoi T lorsque T est isomorphe à un sous-tournoi de T. Une partie X de S est un intervalle de T lorsque pour tous a,bX et xSX, (a,x)A si et seulement si (b,x)A. Par exemple, ∅, {x} (xS) et S sont des intervalles de T, appelés intervalles triviaux. Un tournoi, dont tous les intervalles sont triviaux, est indécomposable. En 2003, B.J. Latka a caractérisé la classe T des tournois indécomposables nʼabritant pas un certain tournoi W5 à 5 sommets. Dans cet article, nous nous intéressons, dans le cas dʼun tournoi indécomposable T, à lʼensemble W5(T) des sommets xS pour lesquels il existe une partie X de S telle que xX et T(X) est isomorphe à W5. Nous montrons que pour un tournoi indécomposable T nʼappartenant pas à la classe T, |W5(T)||S|2, et que |W5(T)||S|1 lorsque |S| est pair. À lʼaide dʼexemples, nous vérifions aussi que cet énoncé est optimal.

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DOI: 10.1016/j.crma.2012.03.012

Houmem Belkhechine 1; Imed Boudabbous 2; Kaouthar Hzami 3

1 Université de Carthage, Institut préparatoire aux études dʼingénieurs de Bizerte, Bizerte, Tunisie
2 Université de Sfax, Institut préparatoire aux études dʼingénieurs de Sfax, Sfax, Tunisie
3 Université de Gabès, Institut supérieur dʼinformatique et de multimédia de Gabès, Gabès, Tunisie
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Houmem Belkhechine; Imed Boudabbous; Kaouthar Hzami. Sous-tournois isomorphes à $ {W}_{5}$ dans un tournoi indécomposable. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 350 (2012) no. 7-8, pp. 333-337. doi : 10.1016/j.crma.2012.03.012. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2012.03.012/

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