Sous-tournois isomorphes à $ {W}_{5}$ dans un tournoi indécomposable

Houmem Belkhechine; Imed Boudabbous; Kaouthar Hzami

doi:10.1016/j.crma.2012.03.012

Combinatoire

Sous-tournois isomorphes à

W_{5}

dans un tournoi indécomposable

Présenté par : le Comité de rédaction

Houmem Belkhechine ¹ ; Imed Boudabbous ² ; Kaouthar Hzami ³

¹ Université de Carthage, Institut préparatoire aux études dʼingénieurs de Bizerte, Bizerte, Tunisie
² Université de Sfax, Institut préparatoire aux études dʼingénieurs de Sfax, Sfax, Tunisie
³ Université de Gabès, Institut supérieur dʼinformatique et de multimédia de Gabès, Gabès, Tunisie

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 350 (2012) no. 7-8, pp. 333-337.

Résumé
Abstract

Considérons un tournoi $T = (S, A)$ . À chaque partie X de S est associé le sous-tournoi $T (X) = (X, A \cap (X \times X))$ de T induit par X. On dit que le tournoi T abrite un tournoi $T^{'}$ lorsque $T^{'}$ est isomorphe à un sous-tournoi de T. Une partie X de S est un intervalle de T lorsque pour tous $a, b \in X$ et $x \in S ∖ X$ , $(a, x) \in A$ si et seulement si $(b, x) \in A$ . Par exemple, ∅, ${x}$ $(x \in S)$ et S sont des intervalles de T, appelés intervalles triviaux. Un tournoi, dont tous les intervalles sont triviaux, est indécomposable. En 2003, B.J. Latka a caractérisé la classe $T$ des tournois indécomposables nʼabritant pas un certain tournoi $W_{5}$ à 5 sommets. Dans cet article, nous nous intéressons, dans le cas dʼun tournoi indécomposable T, à lʼensemble $W_{5} (T)$ des sommets $x \in S$ pour lesquels il existe une partie X de S telle que $x \in X$ et $T (X)$ est isomorphe à $W_{5}$ . Nous montrons que pour un tournoi indécomposable T nʼappartenant pas à la classe $T$ , $| W_{5} (T) | ⩾ | S | - 2$ , et que $| W_{5} (T) | ⩾ | S | - 1$ lorsque $| S |$ est pair. À lʼaide dʼexemples, nous vérifions aussi que cet énoncé est optimal.

We consider a tournament $T = (V, A)$ . For each subset X of V is associated the subtournament $T (X) = (X, A \cap (X \times X))$ of T induced by X. We say that a tournament $T^{'}$ embeds into a tournament T when $T^{'}$ is isomorphic to a subtournament of T. A subset X of V is an interval of T provided that for $a, b \in X$ and $x \in V ∖ X$ , $(a, x) \in A$ if and only if $(b, x) \in A$ . For example, ∅, ${x}$ $(x \in V)$ and V are intervals of T, called trivial intervals. A tournament is indecomposable if all its intervals are trivial. In 2003, B.J. Latka characterized the class $T$ of the indecomposable tournaments into which a certain tournament $W_{5}$ on 5 vertices does not embed. In the case of an indecomposable tournament T, we study the set $W_{5} (T)$ of vertices $x \in V$ for which there exists a subset X of V such that $x \in X$ and $T (X)$ is isomorphic to $W_{5}$ . We prove the following: for any indecomposable tournament T, if $T \notin T$ , then $| W_{5} (T) | ⩾ | V | - 2$ and $| W_{5} (T) | ⩾ | V | - 1$ if $| V |$ is even. By giving examples, we also verify that this statement is optimal.

Reçu le : 2011-06-07
Accepté le : 2012-03-16
Publié le : 2012-03-30

DOI : 10.1016/j.crma.2012.03.012

Affiliations des auteurs :

Houmem Belkhechine ¹ ; Imed Boudabbous ² ; Kaouthar Hzami ³

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Houmem Belkhechine; Imed Boudabbous; Kaouthar Hzami. Sous-tournois isomorphes à $ {W}_{5}$ dans un tournoi indécomposable. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 350 (2012) no. 7-8, pp. 333-337. doi : 10.1016/j.crma.2012.03.012. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2012.03.012/

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