Comptes Rendus
no. 7-8
Functional Analysis
On some notions of spectra for quaternionic operators and for n-tuples of operators
[Quelques notions de spectre pour les opérateurs quaternioniques et pour les n-uples dʼopérateurs]

Présenté par : Jean-Pierre Kahane

Fabrizio Colombo1 ; Irene Sabadini1
1 Dipartimento di Matematica, Politecnico di Milano, Via Bonardi 9, 20133 Milano, Italy
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 350 (2012) no. 7-8, pp. 399-402.

La notion de S-spectre a été introduite pour donner une définition de calcul formel utilisable pour des opérateurs linéaires quaternioniques et pour des n-uples dʼopérateurs non nécessairement commutatifs. La notion de spectre à droite pour des opérateurs linéaires a été largement utilisée dans la littérature, particulièrement dans le cadre de la mécanique quantique. Par la suite, on a établi que de nombreux résultats dʼalgèbre linéaire, comme le théorème spectral pour les matrices quaternioniques, sont reliés au spectre à droite. Dans cette Note on démontre que les deux notions de S-spectre et de spectre à droite coïncident.

The S-spectrum has been introduced for the definition of the S-functional calculus that includes both the quaternionic functional calculus and a calculus for n-tuples of nonnecessarily commuting operators. The notion of right spectrum for right linear quaternionic operators has been widely used in the literature, especially in the context of quaternionic quantum mechanics. Moreover, several results in linear algebra, like the spectral theorem for quaternionic matrices, involve the right spectrum. In this Note we prove that the two notions of S-spectrum and of right spectrum coincide.

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DOI : 10.1016/j.crma.2012.03.017
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Fabrizio Colombo; Irene Sabadini. On some notions of spectra for quaternionic operators and for n-tuples of operators. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 350 (2012) no. 7-8, pp. 399-402. doi : 10.1016/j.crma.2012.03.017. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2012.03.017/

[1] S. Adler Quaternionic Quantum Field Theory, Oxford University Press, 1995

[2] F. Colombo; I. Sabadini The F-spectrum and the SC-functional calculus, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A, Volume 142 (2012), pp. 1-22

[3] F. Colombo; I. Sabadini; D.C. Struppa Noncommutative Functional Calculus. Theory and Applications of Slice Hyperholomorphic Functions, Progress in Mathematics, vol. 289, Birkhäuser/Springer Basel AG, Basel, 2011 (vi+221 pp)

[4] S. De Leo; G. Scolarici Right eigenvalue equation in quaternionic quantum mechanics, J. Phys. A, Volume 33 (2000), pp. 2971-2995

[5] D.R. Farenick; B.A.F. Pidkowich The spectral theorem in quaternions, Linear Algebra Appl., Volume 371 (2003), pp. 75-102

[6] F. Zhang Quaternions and matrices of quaternions, Linear Algebra Appl., Volume 251 (1997), pp. 21-57

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