Exemples de faisceaux cohérents sans résolution localement libre en dimension 3

Victor Vuletescu

doi:10.1016/j.crma.2012.03.020

Géométrie algébrique/Géométrie analytique

Exemples de faisceaux cohérents sans résolution localement libre en dimension 3
[Examples of coherent sheaves with no resolution by locally free sheaves in dimension 3]

Presented by: Claire Voisin

Victor Vuletescu ^1,²

¹ Universitatea Bucureşti, Facultatea de Matematică şi Informatică, St. Academiei 14, Bucharest, Roumanie
² “Simion Stoilow” Institute of Mathematics of the Romanian Academy, Romania

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 350 (2012) no. 7-8, pp. 411-412.

Abstract
Résumé

In 1982, Schuster proved that for any compact complex surface X, every coherent sheaf $F$ on X has global resolutions

\dots \to E_{n} \to E_{n - 1} \to \dots \to E_{1} \to E_{0} \to F \to 0

such that the

E_{i}

ʼs are locally free (vector bundles). In 2002, Voisin proved that this is false for some Kähler compact complex manifolds of dimension ⩾3. In this Note, we give some new examples of non-Kähler compact complex manifolds of dimension 3 and coherent sheaves

F

on X having no global resolution by vector bundles. The proof that these sheaves do not admit a locally free resolution is very different from Voisinʼs argument.

En 1982, Schuster a prouvé que pour toutes les surfaces complexes compactes lisses, tous les faisceaux cohérents $F$ sur X admettent des résolutions

\dots \to E_{n} \to E_{n - 1} \to \dots \to E_{1} \to E_{0} \to F \to 0

avec les

E_{i}

ʼs localement libres (fibrés vectoriels). En 2002, Voisin a prouvé que ceci est faux pour certaines variétés kähleriennes de dimension ⩾3. Dans cette Note, on donne de nouveaux exemples de variétés complexes compactes lisses X de dimension 3 non-kähleriennes et de faisceaux cohérents

F

sur X nʼadmettant pas globalement une résolution localement libre. La preuve que ces faisceaux nʼadmettent pas de résolution localement libre est très différente des arguments de Voisin.

Received: 2012-03-21
Accepted: 2012-03-30
Published online: 2012-04-01

DOI: 10.1016/j.crma.2012.03.020

Author's affiliations:

Victor Vuletescu ^{1, 2}

¹ Universitatea Bucureşti, Facultatea de Matematică şi Informatică, St. Academiei 14, Bucharest, Roumanie
² “Simion Stoilow” Institute of Mathematics of the Romanian Academy, Romania

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Victor Vuletescu. Exemples de faisceaux cohérents sans résolution localement libre en dimension 3. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 350 (2012) no. 7-8, pp. 411-412. doi : 10.1016/j.crma.2012.03.020. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2012.03.020/

References
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