Comptes Rendus
no. 3
Partial differential equations/Harmonic analysis
A pseudo-differential calculus on the Heisenberg group
[Un calcul pseudo-différentiel sur le groupe de Heisenberg]

Présenté par : Jean-Michel Bony

Véronique Fischer1 ; Michael Ruzhansky1
1 Department of Mathematics, Imperial College London, 180 Queen's Gate, London SW7 2AZ, United Kingdom
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 352 (2014) no. 3, pp. 197-204.

Dans cette note, nous présentons un calcul pseudo-différentiel symbolique sur le groupe de Heisenberg. Nous particularisons à ce groupe notre construction générale [4,2,3] des calculs pseudo-différentiels sur les groupes de Lie gradués. Le lien entre la quantification de Weyl et les représentations du groupe de Heisenberg nous permet de considérer, dans ce cas, des symboles à valeurs scalaires. Nous trouvons que les conditions qui définissent les classes de symboles sont similaires, mais différentes de celles dans [1]. Comme applications, nous obtenons des résultats d'hypoellipticité de type Schwartz ainsi que des estimations subelliptiques sur le groupe de Heisenberg.

In this note we present a symbolic pseudo-differential calculus on the Heisenberg group. We particularise to this group our general construction [4,2,3] of pseudo-differential calculi on graded groups. The relation between the Weyl quantisation and the representations of the Heisenberg group enables us to consider here scalar-valued symbols. We find that the conditions defining the symbol classes are similar but different to the ones in [1]. Applications are given to Schwartz hypoellipticity and to subelliptic estimates on the Heisenberg group.

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DOI : 10.1016/j.crma.2013.12.006
Véronique Fischer 1 ; Michael Ruzhansky 1

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Véronique Fischer; Michael Ruzhansky. A pseudo-differential calculus on the Heisenberg group. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 352 (2014) no. 3, pp. 197-204. doi : 10.1016/j.crma.2013.12.006. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2013.12.006/

[1] H. Bahouri; C. Fermanian-Kammerer; I. Gallagher Phase-Space Analysis and Pseudodifferential Calculus on the Heisenberg Group, Astérisque, vol. 342, 2012 http://hal.archives-ouvertes.fr/docs/00/78/57/92/PDF/phasespacefinal.pdf (The revised version is at)

[2] V. Fischer; M. Ruzhansky A pseudo-differential calculus on graded Lie groups, Fourier Analysis, Trends in Mathematics, Birkhäuser, 2014, pp. 107-132 | arXiv

[3] V. Fischer; M. Ruzhansky Lower bounds for operators on graded Lie groups, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 351 (2013) no. 1–2, pp. 13-18

[4] V. Fischer, M. Ruzhansky, Quantization on Nilpotent Lie Groups, monograph in preparation.

[5] G.B. Folland Subelliptic estimates and function spaces on nilpotent Lie groups, Ark. Mat., Volume 13 (1975) no. 2, pp. 161-207

[6] M. Ruzhansky; V. Turunen Pseudo-Differential Operators and Symmetries: Background Analysis and Advanced Topics, Birkhäuser, Basel, 2010

[7] M. Ruzhansky; V. Turunen Global quantization of pseudo-differential operators on compact Lie groups, SU(2) and 3-sphere, Int. Math. Res. Not., Volume 11 (2013), pp. 2439-2496 | DOI

[8] M.E. Taylor Noncommutative Microlocal Analysis. I, Mem. Am. Math. Soc., vol. 52, 1984

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