Sur la répartition des puissances modulo 1

Jean-Pierre Kahane

doi:10.1016/j.crma.2013.12.014

Analyse mathématique

Sur la répartition des puissances modulo 1

Présenté par : Jean-Pierre Kahane

Jean-Pierre Kahane

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 352 (2014) no. 5, pp. 383-385.

Résumé
Abstract

L'ensemble des $x > 1$ tels que $(x^{n})$ $(n = 1, 2, \dots)$ n'est pas équidistribué modulo 1, qui est de mesure nulle, est de dimension 1. Cela découle du fait suivant : quelle que soit la suite $(b_{n})$ dans $[0, 1 [$ , et $ε > 0$ , l'ensemble des x tels que $x^{n}$ est ε-proche de $b_{n}$ modulo 1 à partir d'un certain rang a pour dimension 1. Mais cet ensemble, limité à un intervalle $[1, X]$ , a une dimension qui dépend de ε et de X. C'est l'objet de quelques propositions et d'une question ouverte.

For almost all $x > 1$ , $(x^{n})$ $(n = 1, 2, \dots)$ is equidistributed modulo 1, a classical result. What can be said on the exceptional set? It has Hausdorff dimension one. Much more: given an $(b_{n})$ in $[0, 1 [$ and $ε > 0$ , the x-set such that $| x^{n} - b_{n} | < ε$ modulo 1 for n large enough has dimension 1. However, its intersection with an interval $[1, X]$ has a dimension <1, depending on ε and X. Some results are given and a question is proposed.

Reçu le : 2013-12-15
Accepté le : 2013-12-19
Publié le : 2014-03-21

DOI : 10.1016/j.crma.2013.12.014

@article{CRMATH_2014__352_5_383_0,
     author = {Jean-Pierre Kahane},
     title = {Sur la r\'epartition des puissances modulo 1},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {383--385},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {352},
     number = {5},
     year = {2014},
     doi = {10.1016/j.crma.2013.12.014},
     language = {fr},
}

TY  - JOUR
AU  - Jean-Pierre Kahane
TI  - Sur la répartition des puissances modulo 1
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2014
SP  - 383
EP  - 385
VL  - 352
IS  - 5
PB  - Elsevier
DO  - 10.1016/j.crma.2013.12.014
LA  - fr
ID  - CRMATH_2014__352_5_383_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Jean-Pierre Kahane
%T Sur la répartition des puissances modulo 1
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2014
%P 383-385
%V 352
%N 5
%I Elsevier
%R 10.1016/j.crma.2013.12.014
%G fr
%F CRMATH_2014__352_5_383_0

Jean-Pierre Kahane. Sur la répartition des puissances modulo 1. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 352 (2014) no. 5, pp. 383-385. doi : 10.1016/j.crma.2013.12.014. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2013.12.014/

Bibliographie
Cité par

[1] M.-J. Bertin; A. Decomps-Guilloux; M. Grandet-Hugot; M. Pathiaux-Delefosse; J.-P. Schreiber Pisot and Salem Numbers, Birkhäuser, 1992

[2] G.H. Hardy; J.E. Littlewood Some problems of Diophantine approximation, Acta Math., Volume 37 (1914), pp. 155-191 (cf. p. 183)

[3] C. Pisot La répartition modulo 1 et les nombres algébriques, Ann. Sc. Norm. Super. Pisa, Volume 2 (1938), pp. 205-248

[4] H. Queffelec; M. Queffelec Diophantine Approximation and Dirichlet Series, HRI Lecture Notes Series, vol. 2, Hindustan Book Agency, 2013 (232 p)

[5] R. Salem Algebraic Numbers and Fourier Analysis, Heath, 1963

[6] H. Weyl Über die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins, Math. Ann., Volume 77 (1916), pp. 313-352 (Satz 21)

Cité par Sources :

Commentaires - Politique