[On the repartition of powers modulo 1]
For almost all , is equidistributed modulo 1, a classical result. What can be said on the exceptional set? It has Hausdorff dimension one. Much more: given an in and , the x-set such that modulo 1 for n large enough has dimension 1. However, its intersection with an interval has a dimension <1, depending on ε and X. Some results are given and a question is proposed.
L'ensemble des tels que n'est pas équidistribué modulo 1, qui est de mesure nulle, est de dimension 1. Cela découle du fait suivant : quelle que soit la suite dans , et , l'ensemble des x tels que est ε-proche de modulo 1 à partir d'un certain rang a pour dimension 1. Mais cet ensemble, limité à un intervalle , a une dimension qui dépend de ε et de X. C'est l'objet de quelques propositions et d'une question ouverte.
@article{CRMATH_2014__352_5_383_0, author = {Jean-Pierre Kahane}, title = {Sur la r\'epartition des puissances modulo 1}, journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique}, pages = {383--385}, publisher = {Elsevier}, volume = {352}, number = {5}, year = {2014}, doi = {10.1016/j.crma.2013.12.014}, language = {fr}, }
Jean-Pierre Kahane. Sur la répartition des puissances modulo 1. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 352 (2014) no. 5, pp. 383-385. doi : 10.1016/j.crma.2013.12.014. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2013.12.014/
[1] Pisot and Salem Numbers, Birkhäuser, 1992
[2] Some problems of Diophantine approximation, Acta Math., Volume 37 (1914), pp. 155-191 (cf. p. 183)
[3] La répartition modulo 1 et les nombres algébriques, Ann. Sc. Norm. Super. Pisa, Volume 2 (1938), pp. 205-248
[4] Diophantine Approximation and Dirichlet Series, HRI Lecture Notes Series, vol. 2, Hindustan Book Agency, 2013 (232 p)
[5] Algebraic Numbers and Fourier Analysis, Heath, 1963
[6] Über die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins, Math. Ann., Volume 77 (1916), pp. 313-352 (Satz 21)
Cited by Sources:
Comments - Policy