Soit K un corps discrètement valué complet à corps résiduel k de caractéristique . On dispose d'une théorie de dualité pour la cohomologie des K-schémas en groupes commutatifs finis dans les cas suivants : K est de caractéristique 0 et k fini (J. Tate, Duality theorems in Galois cohomology over number fields, in : Proceedings ICM 1962), K est de caractéristique p et k fini (S.S. Shatz, Cohomology of Artinian group schemes over local fields, Ann. of Math. (2) 79 (3) (1964) 411–449), K est de caractéristique 0 et k algébriquement clos (L. Bégueri, Dualité sur un corps local à corps résiduel algébriquement clos, Mém. Soc. Math. Fr. 108 (4) (1980)). On présente ici le cas où K est de caractéristique p et k algébriquement clos ; il s'agit d'un résumé du texte détaillé (C. Pépin, Dualité sur un corps local de caractéristique positive à corps résiduel algébriquement clos, prépublication, arXiv:1411.0742v1). Une approche indépendante a été donnée récemment par Suzuki (Duality for local fields and sheaves on the category of fields, prépublication, arXiv:1310.4941v2, 2.7.6 (1) (a)).
Let K be a complete discretely valued field with residue field k of characteristic . There exists a duality theory for the cohomology of finite commutative K-group schemes in the following cases: K has characteristic 0 and k is finite (J. Tate, Duality theorems in Galois cohomology over number fields, in: Proceedings ICM 1962), K has characteristic p and k is finite (S.S. Shatz, Cohomology of Artinian group schemes over local fields, Ann. of Math. (2) 79 (3) (1964) 411–449), K has characteristic 0 and k is algebraically closed (L. Bégueri, Dualité sur un corps local à corps résiduel algébriquement clos, Mém. Soc. Math. Fr. 108 (4) (1980)). Here we present the case where K has characteristic p and k is algebraically closed; this is a summary of the detailed text (C. Pépin, Dualité sur un corps local de caractéristique positive à corps résiduel algébriquement clos, prepublication, arXiv:1411.0742v1). An independent approach has been given recently by Suzuki (Duality for local fields and sheaves on the category of fields, prepublication, arXiv:1310.4941v2, 2.7.6 (1) (a)).
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Publié le :
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author = {C\'edric P\'epin},
title = {Dualit\'e sur un corps local de caract\'eristique positive \`a corps r\'esiduel alg\'ebriquement clos},
journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
pages = {573--577},
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language = {fr},
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Cédric Pépin. Dualité sur un corps local de caractéristique positive à corps résiduel algébriquement clos. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 353 (2015) no. 7, pp. 573-577. doi : 10.1016/j.crma.2015.03.017. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2015.03.017/
[1] Duality in the flat cohomology of curves, Invent. Math., Volume 35 (1976), pp. 111-129
[2] Dualité sur un corps local à corps résiduel algébriquement clos, Mém. Soc. Math. Fr., Volume 108 (1980) no. 4
[3] Crystalline Dieudonné module theory via formal and rigid geometry, Publ. Math. IHES, Volume 82 (1995), pp. 5-96
[4] Dualité sur un corps local de caractéristique positive à corps résiduel algébriquement clos (prépublication) | arXiv
[5] Groupes proalgébriques, Publ. Math. IHES, Volume 7 (1960), pp. 5-67
[6] Cohomology of Artinian group schemes over local fields, Ann. of Math. (2), Volume 79 (1964) no. 3, pp. 411-449
[7] Duality for local fields and sheaves on the category of fields (prépublication) | arXiv
[8] J. Tate, Duality theorems in Galois cohomology over number fields, in : Proceedings ICM 1962.
[9] F. Trihan, D. Vauclair, A comparison theorem for semi-Abelian schemes over a proper smooth curve, en préparation.
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