A note on the Kirillov model for representations of $ {\mathrm{GL}}_{n}(\mathbb{C})$

Alexander Kemarsky

doi:10.1016/j.crma.2015.04.002

Lie algebras/Functional analysis

A note on the Kirillov model for representations of

{GL}_{n} (C)

[Une note sur le modèle de Kirillov des représentations de

{GL}_{n} (C)

]

Présenté par : Michèle Vergne

Alexander Kemarsky ¹

¹ Technion, Mathematics, Department of Mathematics, Haifa, Israel

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 353 (2015) no. 7, pp. 579-582.

Résumé
Abstract

Soit $G = {GL}_{n} (C)$ et $1 \neq ψ : C \to C^{\times}$ un caractère additif non trivial. Soit U le sous-groupe des matrices triangulaires supérieures unipotentes de G. Notons $θ : U \to C$ le caractère donné par

θ (u) : = ψ (u_{1, 2} + u_{2, 3} + \dots + u_{n - 1, n}) .

Soit P le sous-groupe mirabolique constitué des matrices de G dont la dernière ligne est

(0, 0, \dots, 0, 1)

. Nous montrons que, si π est une représentation irréductible générique de G et si

W (π, ψ)

est son modèle de Whittaker, alors l'espace

{{f |}_{P} : P \to C : f \in W (π, ψ)}

contient l'espace des fonctions

f : P \to C

infiniment différentiables, qui satisfont

f (u p) = ψ (u) f (p)

pour tout

u \in U

p \in P

et qui ont un support compact modulo U. Un résultat similaire a été établi pour

{GL}_{n} (F)

, où F est un corps p-adique, par Gelfand et Kazhdan (1975) [1] et pour

{GL}_{n} (R)

par Jacquet (2010) [2].

Let $G = {GL}_{n} (C)$ and $1 \neq ψ : C \to C^{\times}$ be an additive character. Let U be the subgroup of upper triangular unipotent matrices in G. Denote by θ the character $θ : U \to C$ given by

θ (u) : = ψ (u_{1, 2} + u_{2, 3} + \dots + u_{n - 1, n}) .

Let P be the mirabolic subgroup of G consisting of all matrices in G with the last row equal to

(0, 0, \dots, 0, 1)

. We prove that if π is an irreducible generic representation of

{GL}_{n} (C)

and

W (π, ψ)

is its Whittaker model, then the space

{{f |}_{P} : P \to C : f \in W (π, ψ)}

contains the space of infinitely differentiable functions

f : P \to C

that satisfy

f (u p) = ψ (u) f (p)

for all

u \in U

and

p \in P

and that have a compact support modulo U. A similar result was proven for

{GL}_{n} (F)

, where F is a p-adic field by Gelfand and Kazhdan (1975) [1] and for

{GL}_{n} (R)

by Jacquet (2010) [2].

Reçu le : 2014-12-24
Accepté le : 2015-04-03
Publié le : 2015-04-29

DOI : 10.1016/j.crma.2015.04.002

Affiliations des auteurs :

Alexander Kemarsky ¹

¹ Technion, Mathematics, Department of Mathematics, Haifa, Israel

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Alexander Kemarsky. A note on the Kirillov model for representations of $ {\mathrm{GL}}_{n}(\mathbb{C})$. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 353 (2015) no. 7, pp. 579-582. doi : 10.1016/j.crma.2015.04.002. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2015.04.002/

Bibliographie
Cité par

[1] I.M. Gelfand; D. Kazhdan Representations of the group $GL (n, K)$ where K is a local field, Budapest, 1971, Halsted, New York (1975), pp. 95-118

[2] H. Jacquet Distinction by the quasi-split unitary group, Isr. J. Math., Volume 178 (2010) no. 1, pp. 269-324

[3] H. Jacquet; J.A. Shalika On Euler products and the classification of automorphic representations I, Amer. J. Math., Volume 103 (1981) no. 3, pp. 499-558

[4] J.A. Shalika The multiplicity one theorem for GL(n), Ann. Math., Volume 100 (1974) no. 2, pp. 171-193

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