[Schémas numériques multi-échelles pour les équations cinétiques dans la limite de diffusion anormale]
Nous construisons des schémas numériques pour résoudre les équations cinétiques dans le régime de diffusion anormale. Lorsque l'équilibre présente une queue lourde ou lorsque la fréquence de collision dégénère pour les petites vitesses, un scaling approprié permet d'obtenir un modèle asymptotique appelé modèle de diffusion anormale ou fractionnaire. Le premier schéma que nous construisons est basé sur une décomposition micro–macro de la fonction de distribution, tandis que le second s'appuie sur une formulation de Duhamel de l'équation de départ. Ces deux schémas sont Asymptotic Preserving (AP) : ils sont consistants avec l'équation cinétique lorsque le paramètre d'échelle est fixé et dégénèrent en un schéma consistant avec le modèle limite quand ε tend vers 0. Le deuxième schéma est même uniformément précis (UA) par rapport à ε. Les schémas AP qui sont connus dans le cas de la limite de diffusion classique ne peuvent pas directement s'appliquer au cas de la diffusion anormale, car ils ne permettent pas de capturer les effets importants des petites et des grandes vitesses. Nous présentons des tests numériques pour mettre en évidence l'efficacité des schémas que nous présentons.
We construct numerical schemes to solve kinetic equations with anomalous diffusion scaling. When the equilibrium is heavy-tailed or when the collision frequency degenerates for small velocities, an appropriate scaling should be made and the limit model is the so-called anomalous or fractional diffusion model. Our first scheme is based on a suitable micro–macro decomposition of the distribution function, whereas our second scheme relies on a Duhamel formulation of the kinetic equation. Both are Asymptotic Preserving (AP): they are consistent with the kinetic equation for all fixed value of the scaling parameter and degenerate into a consistent scheme solving the asymptotic model when ε tends to 0. The second scheme enjoys the stronger property of being uniformly accurate (UA) with respect to ε. The usual AP schemes known for the classical diffusion limit cannot be directly applied to the context of anomalous diffusion scaling, since they are not able to capture the important effects of large and small velocities. We present numerical tests to highlight the efficiency of our schemes.
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Nicolas Crouseilles; Hélène Hivert; Mohammed Lemou. Multiscale numerical schemes for kinetic equations in the anomalous diffusion limit. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 353 (2015) no. 8, pp. 755-760. doi : 10.1016/j.crma.2015.05.003. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2015.05.003/
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