Semi-regular varieties and variational Hodge conjecture

Ananyo Dan; Inder Kaur

doi:10.1016/j.crma.2016.01.005

Algebraic geometry

Semi-regular varieties and variational Hodge conjecture
[Variétés semi-régulières et conjecture de Hodge variationnelle]

Présenté par : Claire Voisin

Ananyo Dan ¹ ; Inder Kaur ²

¹ Humboldt Universität Zu Berlin, Institut für Mathematik, Unter den Linden 6, Berlin 10099, Germany
² Freie Universität Berlin, FB Mathematik und Informatik, Arnimallee 3, 14195 Berlin, Germany

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 354 (2016) no. 3, pp. 297-300.

Abstract (VO)
Résumé

Following [1,2], we know that semi-regular sub-varieties satisfy the variational Hodge conjecture, i.e., given a family of smooth projective varieties $π : X \to B$ , a special fiber $X_{o}$ and a semi-regular subvariety $Z \subset X_{o}$ , the cohomology class corresponding to Z remains a Hodge class (as $X_{o}$ deforms along B) if and only if Z remains an algebraic cycle. In this article, we investigate examples of such sub-varieties. In particular, we prove that any smooth projective variety Z of dimension n is a semi-regular sub-variety of a smooth projective hypersurface in $P^{2 n + 1}$ of large enough degree.

D'après [1,2] nous savons que les sous-variétés semi-régulières satisfont la conjecture de Hodge variationnelle, c'est-à-dire qu'étant données une famille de variétés projectives lisses $π : X \to B$ , une fibre spéciale $X_{o}$ et une sous-variété semi-régulière $Z \subset X_{o}$ , la classe de cohomologie correspondant à Z reste une classe de Hodge si et seulement si Z reste un cycle algébrique (lorsque $X_{o}$ se déforme le long de B). Nous étudions ici des exemples de telles sous-variétés. En particulier, nous montrons que toute variété projective lisse Z de dimension n est une sous-variété semi-régulière d'une hypersurface projective lisse de $P^{2 n + 1}$ de degré suffisamment grand.

Reçu le : 2015-12-18
Accepté le : 2016-01-20
Publié le : 2016-02-09

DOI : 10.1016/j.crma.2016.01.005

Affiliations des auteurs :

Ananyo Dan ¹ ; Inder Kaur ²

¹ Humboldt Universität Zu Berlin, Institut für Mathematik, Unter den Linden 6, Berlin 10099, Germany
² Freie Universität Berlin, FB Mathematik und Informatik, Arnimallee 3, 14195 Berlin, Germany

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Ananyo Dan; Inder Kaur. Semi-regular varieties and variational Hodge conjecture. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 354 (2016) no. 3, pp. 297-300. doi : 10.1016/j.crma.2016.01.005. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2016.01.005/

Bibliographie
Cité par

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Cité par Sources :

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