Semi-regular varieties and variational Hodge conjecture

Ananyo Dan; Inder Kaur

doi:10.1016/j.crma.2016.01.005

Algebraic geometry

Semi-regular varieties and variational Hodge conjecture
[Variétés semi-régulières et conjecture de Hodge variationnelle]

Présenté par : Claire Voisin

Ananyo Dan ¹ ; Inder Kaur ²

¹ Humboldt Universität Zu Berlin, Institut für Mathematik, Unter den Linden 6, Berlin 10099, Germany
² Freie Universität Berlin, FB Mathematik und Informatik, Arnimallee 3, 14195 Berlin, Germany

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 354 (2016) no. 3, pp. 297-300.

Résumé
Abstract

D'après [1,2] nous savons que les sous-variétés semi-régulières satisfont la conjecture de Hodge variationnelle, c'est-à-dire qu'étant données une famille de variétés projectives lisses $π : X \to B$ , une fibre spéciale $X_{o}$ et une sous-variété semi-régulière $Z \subset X_{o}$ , la classe de cohomologie correspondant à Z reste une classe de Hodge si et seulement si Z reste un cycle algébrique (lorsque $X_{o}$ se déforme le long de B). Nous étudions ici des exemples de telles sous-variétés. En particulier, nous montrons que toute variété projective lisse Z de dimension n est une sous-variété semi-régulière d'une hypersurface projective lisse de $P^{2 n + 1}$ de degré suffisamment grand.

Following [1,2], we know that semi-regular sub-varieties satisfy the variational Hodge conjecture, i.e., given a family of smooth projective varieties $π : X \to B$ , a special fiber $X_{o}$ and a semi-regular subvariety $Z \subset X_{o}$ , the cohomology class corresponding to Z remains a Hodge class (as $X_{o}$ deforms along B) if and only if Z remains an algebraic cycle. In this article, we investigate examples of such sub-varieties. In particular, we prove that any smooth projective variety Z of dimension n is a semi-regular sub-variety of a smooth projective hypersurface in $P^{2 n + 1}$ of large enough degree.

Reçu le : 2015-12-18
Accepté le : 2016-01-20
Publié le : 2016-02-09

DOI : 10.1016/j.crma.2016.01.005

Affiliations des auteurs :

Ananyo Dan ¹ ; Inder Kaur ²

¹ Humboldt Universität Zu Berlin, Institut für Mathematik, Unter den Linden 6, Berlin 10099, Germany
² Freie Universität Berlin, FB Mathematik und Informatik, Arnimallee 3, 14195 Berlin, Germany

@article{CRMATH_2016__354_3_297_0,
     author = {Ananyo Dan and Inder Kaur},
     title = {Semi-regular varieties and variational {Hodge} conjecture},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {297--300},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {354},
     number = {3},
     year = {2016},
     doi = {10.1016/j.crma.2016.01.005},
     language = {en},
}

TY  - JOUR
AU  - Ananyo Dan
AU  - Inder Kaur
TI  - Semi-regular varieties and variational Hodge conjecture
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2016
SP  - 297
EP  - 300
VL  - 354
IS  - 3
PB  - Elsevier
DO  - 10.1016/j.crma.2016.01.005
LA  - en
ID  - CRMATH_2016__354_3_297_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Ananyo Dan
%A Inder Kaur
%T Semi-regular varieties and variational Hodge conjecture
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2016
%P 297-300
%V 354
%N 3
%I Elsevier
%R 10.1016/j.crma.2016.01.005
%G en
%F CRMATH_2016__354_3_297_0

Ananyo Dan; Inder Kaur. Semi-regular varieties and variational Hodge conjecture. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 354 (2016) no. 3, pp. 297-300. doi : 10.1016/j.crma.2016.01.005. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2016.01.005/

Bibliographie
Cité par

[1] S. Bloch Semi-regularity and de-Rham cohomology, Invent. Math., Volume 17 (1972), pp. 51-66

[2] R.-O. Buchweitz; H. Flenner A semiregularity map for modules and applications to deformations, Compos. Math., Volume 137 (2003) no. 2, pp. 135-210

[3] S.L. Kleiman; A.B. Altman Bertini's theorem for hypersurface sections containing a subscheme, Commun. Algebra, Volume 7 (1979) no. 8, pp. 775-790

[4] K. Kodaira; D.C. Spencer A theorem of completeness of characteristic systems of complete continuous systems, Amer. J. Math., Volume 81 (1959) no. 2, pp. 477-500

[5] F. Severi Sul teorema fondamentale dei sistemi continui di curve sopra una superficie algebrica, Ann. Mat. Pura Appl., Volume 23 (1944) no. 4, pp. 149-181

Cité par Sources :

Commentaires - Politique

Ces articles pourraient vous intéresser

Diagonal property of the symmetric product of a smooth curve

Indranil Biswas; Sanjay Kumar Singh

C. R. Math (2015)

Classification of differential symmetry breaking operators for differential forms

Toshiyuki Kobayashi; Toshihisa Kubo; Michael Pevzner

C. R. Math (2016)

Quot schemes and Ricci semipositivity

Indranil Biswas; Harish Seshadri

C. R. Math (2017)