Comptes Rendus
no. 8
Équations aux dérivées partielles/Analyse numérique
Stabilisation de problèmes non coercifs via une méthode numérique utilisant la mesure invariante

Présenté par : Olivier Pironneau

Claude Le Bris1 ; Frédéric Legoll1 ; François Madiot1
1 École nationale des ponts et chaussées and INRIA, 6 et 8, avenue Blaise-Pascal, 77455 Marne-La-Vallée cedex 2, France
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 354 (2016) no. 8, pp. 799-803.

Nous nous intéressons à un problème d'advection–diffusion non coercif où l'advection domine. Nous présentons une approche numérique possible, à notre connaissance nouvelle, basée sur l'utilisation de la mesure invariante associée au problème. Nous démontrons sur l'exemple traité que l'approche permet de définir une approximation éléments finis du problème bien posée, et ce inconditionnellement en la taille du maillage. Plusieurs variantes de l'approche sont possibles, dont une, qui s'avère stable, conduit à des résultats numériques de qualité tout à fait comparable à ceux obtenus à l'aide d'une méthode classique de stabilisation sur l'équation considérée. Ceci suggère une piste possible, générale, pour toute une classe de problèmes non coercifs.

We study an advection–diffusion equation that is both non-coercive and advection-dominated. We present a possible numerical approach, to our best knowledge new, and based on the invariant measure associated with the original equation. We show that the approach allows for an unconditionally well-posed finite-element approximation. Two variants of the approach are studied. One of them is stable, and as accurate as a classical stabilization approach. This suggests a possible general strategy, applicable to a large class of non-coercive problems.

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DOI : 10.1016/j.crma.2016.05.008
Claude Le Bris 1 ; Frédéric Legoll 1 ; François Madiot 1

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[1] F. Brezzi; L.D. Marini; P. Pietra Two-dimensional exponential fitting and applications to drift-diffusion models, SIAM J. Numer. Anal., Volume 26 (1989) no. 6, pp. 1342-1355

[2] A.N. Brooks; T. Hughes Streamline upwind/Petrov–Galerkin formulations for convection dominated flows with particular emphasis on the incompressible Navier–Stokes equations, Comput. Methods Appl. Mech. Eng., Volume 32 (1982) no. 1–3, pp. 199-259

[3] A. Ern; J.-L. Guermond Theory and Practice of Finite Elements, Applied Mathematical Sciences, vol. 159, Springer-Verlag, New York, 2004

[4] L.P. Franca; S.L. Frey; T.J.R. Hugues Stabilized finite element methods: I. Application to the advective–diffusive model, Comput. Methods Appl. Mech. Eng., Volume 95 (1992), pp. 253-276

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[6] F. Madiot, Multiscale finite element methods for advection diffusion problems, thèse en préparation, Université Paris-Est.

[7] A. Quarteroni; A. Valli Numerical Approximation of Partial Differential Equations, Springer Series in Computational Mathematics, vol. 23, Springer-Verlag, Berlin, 1994

Cité par Sources :

☆ The authors thank Yves Achdou and Olivier Pironneau for helpful discussions. The work of the authors is partially supported by ONR under grant N00014-15-1-2777 and EOARD under grant FA8655-13-1-3061.

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