Comptes Rendus
no. 3
Équations aux dérivées partielles/Analyse numérique
Analyse a posteriori d'erreur par reconstruction pour un modèle d'écoulement dans un milieu poreux fracturé

Présenté par : le comité de rédaction

Zoubida Mghazli1 ; Ilyas Naji1
1 Université Ibn Tofaïl, Laboratoire interdisciplinaire en ressources naturelles et en environnement (LIRNE), Équipe d'ingénierie mathématique (EIMA), BP 133, Kénitra, Maroc
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 355 (2017) no. 3, pp. 304-309.

Nous présentons dans cette note des estimations a posteriori d'erreur basées sur la technique de reconstruction, pour le modèle réduit de l'écoulement en milieux poreux fracturé introduit et analysé par V. Martin, J. Jaffré et J. Roberts. Ce modèle est approché par les éléments finis de Raviart–Thomas de plus bas degrés. Dans ce type d'approximation, la vitesse est bien approchée ; en revanche, la pression obtenue n'appartient pas à H01(Ω). Nous considérons une reconstruction de la pression et nous donnons une borne supérieure de l'erreur dans la norme énergie, par des indicateurs dont certains sont exprimés en fonction de cette reconstruction. Des résultats numériques montrent que tous les indicateurs convergent vers zéro avec le pas du maillage, avec la même vitesse que l'erreur. L'un de ces indicateurs peut être interprété à la fois comme un indicateur de discrétisation et un indicateur de validité du modèle réduit.

We present in this note a posteriori error estimates based on the postprocessing technique for the reduced model of flow in fractured porous media, introduced and analysed by V. Martin, J. Jaffré, and J. Roberts. This model is approximated by the Raviart–Thomas finite elements of lowest order. In this type of approximation, the velocity is well approximated. A postprocessing of the pressure appears to be necessary since it does not belong to H01(Ω). We give an upper bound for the error in the energy norm, with some indicators that are expressed in terms of the reconstruction of the pressure. Numerical results show that all indicators converge to zero when the mesh size goes to zero, with the same speed as the error. One of these indicators can be interpreted as both a discretization indicator and an indicator of the reduced model validity.

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DOI : 10.1016/j.crma.2016.12.006
Zoubida Mghazli 1 ; Ilyas Naji 1

1 Université Ibn Tofaïl, Laboratoire interdisciplinaire en ressources naturelles et en environnement (LIRNE), Équipe d'ingénierie mathématique (EIMA), BP 133, Kénitra, Maroc 
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Zoubida Mghazli; Ilyas Naji. Analyse a posteriori d'erreur par reconstruction pour un modèle d'écoulement dans un milieu poreux fracturé. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 355 (2017) no. 3, pp. 304-309. doi : 10.1016/j.crma.2016.12.006. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2016.12.006/

[1] A. Ern; M. Vohralík Polynomial-degree-robust a posteriori estimates in a unified setting for conforming, nonconforming, discontinuous Galerkin, and mixed discretizations, SIAM J. Numer. Anal., Volume 53 (2015) no. 2, pp. 1058-1081

[2] F. Hecht, Z. Mghazli, J. Roberts, A posteriori error estimates for a reduced model in porous media with fracture (en préparation).

[3] F. Hecht; O. Pironneau; J. Morice FreeFEM++, 2013 www.freefem.org (v3.20)

[4] P. Jiránek; Z. Strakoš; M. Vohralík A posteriori error estimates including algebraic error and stopping criteria for iterative solvers, SIAM J. Sci. Comput., Volume 32 (2010) no. 3, pp. 1567-1590

[5] P. Ladevèze; D. Leguillon Error estimate procedure in the finite element method and applications, SIAM J. Numer. Anal., Volume 20 (1983), pp. 485-509

[6] V. Martin; J. Jaffré; J.E. Roberts Modeling fractures as barriers and interfaces for flow in porous media, SIAM J. Sci. Comput., Volume 26 (2005) no. 5, pp. 1667-1691

[7] W. Prager; J.L. Synge Approximations in elasticity based on the concept of function space, Q. Appl. Math., Volume 5 (1947), pp. 241-269

[8] M. Vohralík Unified primal formulation-based a priori and a posteriori error analysis of mixed finite element methods, Math. Comput., Volume 79 (2010), pp. 2001-2032

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