Comptes Rendus
no. 1
Number theory/Algebraic geometry
On the ordinariness of coverings of stable curves
[De l'ordinarité des revêtements de courbes stables]

Présenté par : Claire Voisin

Yu Yang1
1 Research Institute for Mathematical Sciences, Kyoto University, Kyoto 606-8502, Japan
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 356 (2018) no. 1, pp. 17-26.

Dans la présente Note, nous étudions l'ordinarité des revêtements de courbes stables. Soit f:Y→X un morphisme de courbes stables sur un anneau de valuation discrète R, dont le corps résiduel est algébriquement clos, de caractéristique p>0. Notons S pour Spec(R) et η (resp. s) le point générique (resp. le point fermé) de S. Supposons que la fibre générique Xη de X est lisse au-dessus de η, que le morphisme fη:Yη→Xη des fibres génériques induit par f au-dessus de η soit un revêtement étale galoisien (et donc Yη est aussi lisse au-dessus de η), dont le groupe de Galois G est résoluble, que le genre des normalisations des composantes irréductibles de la fibre spéciale Xs soit au moins 2 et que Ys soit ordinaire. Alors, le morphisme fs:Ys→Xs induit par f au-dessus de s est un revêtement admissible. Ce résultat étend un énoncé de M. Raynaud sur l'ordinarité des revêtements lorsque Xs est une courbe stable. Si, de plus, on suppose que G est un p-groupe et que le p-rang de la normalisation de chaque composante irréductible de Xs est au moins 2, nous pouvons donner un critère numérique pour l'admissibilité de fs.

In the present paper, we study the ordinariness of coverings of stable curves. Let f:Y→X be a morphism of stable curves over a discrete valuation ring R with algebraically closed residue field of characteristic p>0. Write S for Spec R and η (resp. s) for the generic point (resp. closed point) of S. Suppose that the generic fiber Xη of X is smooth over η, that the morphism fη:Yη→Xη over η on the generic fiber induced by f is a Galois étale covering (hence Yη is smooth over η too) whose Galois group is a solvable group G, that the genus of the normalization of each irreducible component of the special fiber Xs is ≥2, and that Ys is ordinary. Then we have that the morphism fs:Ys→Xs over s induced by f is an admissible covering. This result extends a result of M. Raynaud concerning the ordinariness of coverings to the case where Xs is a stable curve. If, moreover, we suppose that G is a p-group, and that the p-rank of the normalization of each irreducible component of Xs is ≥2, we can give a numerical criterion for the admissibility of fs.

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DOI : 10.1016/j.crma.2017.11.013
Yu Yang 1

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Yu Yang. On the ordinariness of coverings of stable curves. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 356 (2018) no. 1, pp. 17-26. doi : 10.1016/j.crma.2017.11.013. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2017.11.013/

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