Comptes Rendus
no. 4
Probability theory/Calculus of variations
Expected Shortfall and optimal hedging payoff
[Expected Shortfall et payoff optimal de couverture]

Présenté par : Olivier Pironneau

Olivier Guéant1
1 CES – Université Paris-1, Panthéon-Sorbonne, 106, boulevard de l'Hôpital, 75013 Paris, France
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 356 (2018) no. 4, pp. 433-438.

En utilisant des techniques de calcul variationnel, nous obtenons un payoff, fonction d'une variable aléatoire fixée, permettant de couvrir optimalement – au sens de la minimisation de l'Expected Shortfall à un seuil donné – un payoff fonction d'une autre variable aléatoire. Dans de nombreux cas pertinents en finance, le résultat obtenu aboutit à des payoffs optimaux en formule fermée. Du point de vue théorique, le résultat obtenu fournit aussi des bornes pour le problème classique de la minimisation de l'Expected Shortfall avec des instruments financiers donnés.

By using variational techniques, we provide an optimal payoff written on a given random variable for hedging – in the sense of minimizing the Expected Shortfall at a given threshold – a payoff written on another random variable. In numerous financially relevant examples, our result leads to optimal payoffs in closed form. From a theoretical viewpoint, our result is also useful for providing bounds to the classical Expected Shortfall minimization problem with given financial instruments.

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DOI : 10.1016/j.crma.2018.03.010
Olivier Guéant 1

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[1] O. Bardou; N. Frikha; G. Pages Computing VaR and CVaR using stochastic approximation and adaptive unconstrained importance sampling, Monte Carlo Methods Appl., Volume 15 (2009) no. 3, pp. 173-210

[2] O. Bardou; N. Frikha; G. Pages CVaR hedging using quantization-based stochastic approximation algorithm, Math. Finance, Volume 26 (2015) no. 1, pp. 184-229

[3] N. Frikha Shortfall risk minimization in discrete time financial market models, SIAM J. Financ. Math., Volume 5 (2014) no. 1, pp. 384-414

[4] R.T. Rockafellar; S. Uryasev Optimization of conditional value-at-risk, J. Risk, Volume 2 (2000), pp. 21-42

[5] R.T. Rockafellar; S. Uryasev Conditional value-at-risk for general loss distributions, J. Bank. Finance, Volume 26 (2002) no. 7, pp. 1443-1471

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