On the stability of flat complex vector bundles over parallelizable manifolds

Indranil Biswas; Sorin Dumitrescu; Manfred Lehn

doi:10.1016/j.crma.2018.08.001

Geometry/Analytic geometry

On the stability of flat complex vector bundles over parallelizable manifolds
[Sur la stabilité des fibrés vectoriels complexes plats sur les variétés parallélisables]

Présenté par : Claire Voisin

Indranil Biswas ¹ ; Sorin Dumitrescu ² ; Manfred Lehn ³

¹ School of Mathematics, Tata Institute of Fundamental Research, Homi Bhabha Road, Mumbai 400005, India
² Université Côte d'Azur, CNRS, LJAD, France
³ Institut für Mathematik, Johannes Gutenberg Universität Mainz, 55099 Mainz, Germany

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 356 (2018) no. 10, pp. 1030-1035.

Résumé
Abstract

Nous étudions les fibrés holomorphes plats sur les variétés parallélisables compactes $G / Γ$ (avec G un groupe de Lie connexe complexe et Γ un réseau cocompact). Notre résultat principal décrit les fibrés holomorphes plats $E_{ρ}$ associés à des représentations irréductibles $ρ : Γ ⟶ GL (r, C)$ . Nous démontrons que ces fibrés $E_{ρ}$ sont isomorphes à une somme directe $E^{\oplus n}$ , avec E un fibré vectoriel stable de degré zéro.

Nous en déduisons un résultat de stabilité concernant les fibrés holomorphes plats $E_{ρ}$ de rang 2 sur les quotients $G / Γ$ . Si $ρ : Γ ⟶ GL (2, C)$ est une représentation irréductible telle que le morphisme induit $ρ^{'} : Γ ⟶ PGL (2, C)$ ne s'étend pas à G, alors $E_{ρ}$ est stable.

We investigate the flat holomorphic vector bundles over compact complex parallelizable manifolds $G / Γ$ , where G is a complex connected Lie group and Γ is a cocompact lattice in it. The main result proved here is a structure theorem for flat holomorphic vector bundles $E_{ρ}$ associated with any irreducible representation $ρ : Γ ⟶ GL (r, C)$ . More precisely, we prove that $E_{ρ}$ is holomorphically isomorphic to a vector bundle of the form $E^{\oplus n}$ , where E is a stable vector bundle. All the rational Chern classes of E vanish, in particular, its degree is zero.

We deduce a stability result for flat holomorphic vector bundles $E_{ρ}$ of rank 2 over $G / Γ$ . If an irreducible representation $ρ : Γ ⟶ GL (2, C)$ satisfies the condition that the induced homomorphism $Γ ⟶ PGL (2, C)$ does not extend to a homomorphism from G, then $E_{ρ}$ is proved to be stable.

Reçu le : 2017-08-21
Accepté le : 2018-08-28
Publié le : 2018-09-01

DOI : 10.1016/j.crma.2018.08.001

Affiliations des auteurs :

Indranil Biswas ¹ ; Sorin Dumitrescu ² ; Manfred Lehn ³

¹ School of Mathematics, Tata Institute of Fundamental Research, Homi Bhabha Road, Mumbai 400005, India
² Université Côte d'Azur, CNRS, LJAD, France
³ Institut für Mathematik, Johannes Gutenberg Universität Mainz, 55099 Mainz, Germany

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Indranil Biswas; Sorin Dumitrescu; Manfred Lehn. On the stability of flat complex vector bundles over parallelizable manifolds. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 356 (2018) no. 10, pp. 1030-1035. doi : 10.1016/j.crma.2018.08.001. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2018.08.001/

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