Comptes Rendus
no. 11-12
Théorie des nombres/Géométrie algébrique
Le nombre des systèmes locaux ℓ-adiques sur une courbe

Présenté par : Jean-Loup Waldspurger

Hongjie Yu1
1 Université Paris-Diderot – Paris-7, Institut de mathématiques de Jussieu – Paris Rive Gauche, CNRS UMR 7586, bâtiment Sophie-Germain, case 7012, 75205 Paris cedex 13, France
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 356 (2018) no. 11-12, pp. 1085-1089.

Soit X1 une courbe projective lisse et géométriquement connexe sur un corps fini Fq avec q=pn éléments, où p est un nombre premier. Soit X le changement de base de X1 à une clôture algébrique de Fq. Le but de cet article est d'annoncer une formule pour le nombre de systèmes locaux ℓ-adiques (ℓ≠p) irréductibles de rang donné sur X fixés par l'endomorphisme de Frobenius. Celle-ci est semblable à une formule des points fixes de Grothendieck–Lefschetz pour une variété sur Fq, ce qui généralise un résultat de Drinfeld en rang 2 et prouve une conjecture de Deligne. Nous esquissons notre méthode, qui consiste à passer du côté automorphe, calculer tous les termes de la formule des traces d'Arthur non invariante et relier la partie géométrique de la formule des traces avec le nombre de Fq-points de l'espace des modules des fibrés de Higgs stables.

Let X1 be a projective, smooth, and geometrically connected curve over Fq with q=pn elements where p is a prime number, and let X be its base change to an algebraic closure of Fq. The goal of this article is to announce a formula for the number of irreducible ℓ-adic local systems (ℓ≠p) with a fixed rank over X fixed by the Frobenius endomorphism. This number behaves like a Grothendieck–Lefschetz fixed point formula for a variety over Fq, which generalises a result of Drinfeld in rank 2 and proves a conjecture of Deligne. We also sketch our method, which consists in passing to the automorphic side by Langlands correspondence, then calculating all the terms in Arthur's non-invariant trace formula and linking the geometric part of trace formula to the number of Fq-points of the moduli space of stable Higgs bundles.

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DOI : 10.1016/j.crma.2018.10.007
Hongjie Yu 1

1 Université Paris-Diderot – Paris-7, Institut de mathématiques de Jussieu – Paris Rive Gauche, CNRS UMR 7586, bâtiment Sophie-Germain, case 7012, 75205 Paris cedex 13, France 
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Hongjie Yu. Le nombre des systèmes locaux ℓ-adiques sur une courbe. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 356 (2018) no. 11-12, pp. 1085-1089. doi : 10.1016/j.crma.2018.10.007. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2018.10.007/

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