Équation de Pell–Abel et applications

Quentin Gendron

doi:10.5802/crmath.346

Analyse et géométrie complexes, Géométrie algébrique

Équation de Pell–Abel et applications

Quentin Gendron ^1,²

¹ Centro de Investigación en Matemáticas, Guanjuato, Gto., AP 402, CP 36000, México
² Instituto de Matemáticas de la UNAM, Ciudad Universitaria, CDMX, 04510, México

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 360 (2022), pp. 975-992.

Résumé
Abstract

Dans cet article, je montrerai que l’équation de Pell–Abel possède une solution de degré $r$ sur une courbe hyperelliptique de genre $g$ si et seulement si $r > g$ . Ce résultat est connu des experts, mais il possède des conséquences intéressantes, qui ne semblent pas connues. Tout d’abord, cela implique l’existence d’une $k$ -différentielle primitive avec un unique zéro d’ordre $k (2 g - 2)$ sur une courbe hyperelliptique de genre $g$ pour tout $(k, g) \neq (2, 2)$ . De plus, cela implique qu’il existe des courbes hyperelliptiques avec un point qui n’est pas de Weierstrass et qui est d’ordre $n$ modulo un point de Weierstrass si et seulement si $n > 2 g$ .

In this paper, we show that there are solutions of degree $r$ of the equation of Pell–Abel on some real hyperelliptic curve of genus $g$ if and only if $r > g$ . This result, which is known to the experts, has consequences, which seem to be unknown to the experts. First, we deduce the existence of a primitive $k$ -differential on an hyperelliptic curve of genus $g$ with a unique zero of order $k (2 g - 2)$ for every $(k, g) \neq (2, 2)$ . Moreover, we show that there exists a non Weierstrass point of order $n$ modulo a Weierstrass point on a hyperelliptic curve of genus $g$ if and only if $n > 2 g$ .

Reçu le : 2020-10-23
Accepté le : 2022-02-22
Publié le : 2022-09-29

DOI : 10.5802/crmath.346

Classification : 30F30, 30C30, 14H40

Affiliations des auteurs :

Quentin Gendron ^{1, 2}

¹ Centro de Investigación en Matemáticas, Guanjuato, Gto., AP 402, CP 36000, México
² Instituto de Matemáticas de la UNAM, Ciudad Universitaria, CDMX, 04510, México

Licence :

CC-BY 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

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Quentin Gendron. Équation de Pell–Abel et applications. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 360 (2022), pp. 975-992. doi : 10.5802/crmath.346. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.5802/crmath.346/

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