Stability of a weighted L2 projection in a weighted Sobolev norm

Martin Averseng

doi:10.5802/crmath.426

Analyse fonctionnelle, Analyse numérique

Stability of a weighted L2 projection in a weighted Sobolev norm
[Stabilité d’une projection L2 à poids dans une norme de Sobolev à poids]

Martin Averseng ¹

¹ Seminar for Applied Mathematics, ETH Zurich

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 361 (2023), pp. 757-766.

Résumé
Abstract

On démontre la stabilité dans une norme de Sobolev à poids, de la projection orthogonale par rapport au produit scalaire d’un espace $L^{2}$ à poids, sur une famille d’éléments finis linéaires par morceaux. Plus précisément, soit $π_{N, ω}$ , de $L^{2} (𝔻, 1 / ω (x) d x)$ dans $𝒳_{N}$ , où $𝔻 \subset ℝ^{2}$ est le disque unité, $ω (x) = \sqrt{1 - {| x |}^{2}}$ et les espaces ${(𝒳_{N})}_{N \in ℕ}$ sont des espaces de fonctions continues et linéaires par morceaux sur une famille de triangulations régulière de $𝔻$ . On montre que $π_{N, ω}$ est stable dans une norme de Sobolev à poids, avec une borne supérieure sur la constante de stabilité qui ne dépend pas de $N$ . Le résultat s’étend au cas de surfaces plus générales $Γ \subset ℝ^{3}$ , en remplaçant le poids $ω$ par $ω_{Γ} (x) : = \sqrt{d (x, \partial Γ)}$ , la racine carrée de la distance de $x$ à $\partial Γ$ , le bord de $Γ$ .

We prove the stability of a weighted $L^{2}$ projection operator onto piecewise linear finite elements spaces in a weighted Sobolev norm. Namely, we consider the orthogonal projections $π_{N, ω}$ from $L^{2} (𝔻, 1 / ω (x) d x)$ to $𝒳_{N}$ , where $𝔻 \subset ℝ^{2}$ is the unit disk, $ω (x) = \sqrt{1 - {| x |}^{2}}$ and the spaces ${(𝒳_{N})}_{N \in ℕ}$ consist of piecewise linear functions on a family of shape-regular and quasi-uniform triangulations of $𝔻$ . We show that $π_{N, ω}$ is stable in a weighted Sobolev norm, and prove an upper bound on the stability constant that does not depend on $N$ . The result also holds when the disk $𝔻$ is replaced by a more general surface $Γ \subset ℝ^{3}$ , replacing the weight $ω$ by $ω_{Γ} (x) : = \sqrt{d (x, \partial Γ)}$ , the square root of the distance from $x$ to the manifold boundary of $Γ$ .

Reçu le : 2022-08-01
Révisé le : 2022-09-19
Accepté le : 2022-09-21
Publié le : 2023-05-11

DOI : 10.5802/crmath.426

Classification : 46E35, 65N12, 65N38

Affiliations des auteurs :

Martin Averseng ¹

¹ Seminar for Applied Mathematics, ETH Zurich

Licence :

CC-BY 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

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Martin Averseng. Stability of a weighted L2 projection in a weighted Sobolev norm. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 361 (2023), pp. 757-766. doi : 10.5802/crmath.426. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.5802/crmath.426/

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