On the generalised André–Pink–Zannier conjecture.

Rodolphe Richard; Andrei Yafaev

doi:10.5802/crmath.491

Géométrie algébrique, Théorie des nombres

On the generalised André–Pink–Zannier conjecture.

Rodolphe Richard ¹ ; Andrei Yafaev ¹

¹ UCL Department of Mathematics, University College London, Gower Street, London, WC1E 6BT, UK

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 361 (2023), pp. 1717-1722.

Résumé
Abstract

On introduit et étudie la notion d’orbite de Hecke généralisée dans une variété de Shimura. On définit une notion de hauteur sur une telle orbite et étudie ses properiétés. On obtient une borne inférieure pour la taille des orbites Galoisiennes de points dans une orbite de Hecke généralisee en termes de cette fonction hauteur en admettant « la conjecture de Mumford–Tate faiblement adélique » et on démontre la conjecture de André–Pink–Zannier généralisée (un cas particulier de la conjecture de Zilber-Pink) en utilisant la stratégie de Pila–Zannier.

We introduce and study the notion of a generalised Hecke orbit in a Shimura variety. We define a height function on such an orbit and study its properties. We obtain lower bounds for the sizes of Galois orbits of points in a generalised Hecke orbit in terms of this height function, assuming the “weakly adelic Mumford–Tate hypothesis” and prove the generalised André–Pink–Zannier conjecture (a special case of the Zilber-Pink conjecture) under this assumption using the Pila–Zannier strategy.

Reçu le : 2022-05-27
Révisé le : 2022-09-28
Accepté le : 2023-03-06
Publié le : 2023-12-21

DOI : 10.5802/crmath.491

Classification : 03C64, 11G18, 11G50, 11F80, 14L30, 20G35, 15A16, 14G35
Mots clés : Shimura varieties, Hecke orbits, Zilber-Pink, Heights, Siegel sets, Mumford–Tate conjecture, Adelic linear groups

Affiliations des auteurs :

Rodolphe Richard ¹ ; Andrei Yafaev ¹

¹ UCL Department of Mathematics, University College London, Gower Street, London, WC1E 6BT, UK

Licence :

CC-BY 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

@article{CRMATH_2023__361_G11_1717_0,
     author = {Rodolphe Richard and Andrei Yafaev},
     title = {On the generalised {Andr\'e{\textendash}Pink{\textendash}Zannier} conjecture.},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {1717--1722},
     publisher = {Acad\'emie des sciences, Paris},
     volume = {361},
     year = {2023},
     doi = {10.5802/crmath.491},
     language = {en},
}

TY  - JOUR
AU  - Rodolphe Richard
AU  - Andrei Yafaev
TI  - On the generalised André–Pink–Zannier conjecture.
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2023
SP  - 1717
EP  - 1722
VL  - 361
PB  - Académie des sciences, Paris
DO  - 10.5802/crmath.491
LA  - en
ID  - CRMATH_2023__361_G11_1717_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Rodolphe Richard
%A Andrei Yafaev
%T On the generalised André–Pink–Zannier conjecture.
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2023
%P 1717-1722
%V 361
%I Académie des sciences, Paris
%R 10.5802/crmath.491
%G en
%F CRMATH_2023__361_G11_1717_0

Rodolphe Richard; Andrei Yafaev. On the generalised André–Pink–Zannier conjecture.. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 361 (2023), pp. 1717-1722. doi : 10.5802/crmath.491. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.5802/crmath.491/

Bibliographie
Cité par

[1] Yves André $G$ -functions and geometry, Aspects of Mathematics, 13, Vieweg & Sohn, 1989 | DOI | Numdam | Zbl

[2] Gregorio Baldi On the geometric Mumford–Tate conjecture for subvarieties of Shimura varieties, Proc. Am. Math. Soc., Volume 148 (2020) no. 1, pp. 95-102 | DOI | MR | Zbl

[3] Anna Cadoret; Arno Kret Galois-generic points on Shimura varieties, Algebra Number Theory, Volume 10 (2016) no. 9, pp. 1893-1934 | DOI | MR | Zbl

[4] Anna Cadoret; Ben Moonen Integral and adelic aspects of the Mumford–Tate conjecture, J. Inst. Math. Jussieu, Volume 19 (2020) no. 3, pp. 869-890 | DOI | MR | Zbl

[5] Pierre Deligne Variétés de Shimura: interprétation modulaire, et techniques de construction de modèles canoniques, Automorphic forms, representations and $L$ -functions (Proceedings of Symposia in Pure Mathematics), Volume 33, American Mathematical Society, 1979, pp. 247-289 | DOI | Zbl

[6] Bas Edixhoven; Andrei Yafaev Subvarieties of Shimura varieties, Ann. Math., Volume 157 (2003) no. 2, pp. 621-645 | DOI | MR | Zbl

[7] Philipp Habegger; Jonathan Pila O-minimality and certain atypical intersections, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér., Volume 49 (2016) no. 4, pp. 813-858 | DOI | MR | Zbl

[8] Bruno Klingler; Emmanuel Ullmo; Andrei Yafaev The hyperbolic Ax-Lindemann-Weierstrass conjecture, Publ. Math., Inst. Hautes Étud. Sci., Volume 123 (2016), pp. 333-360 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[9] Bruno Klingler; Andrei Yafaev The André–Oort conjecture, Ann. Math., Volume 180 (2014) no. 3, pp. 867-925 | DOI | Zbl

[10] Davide Lombardo On the $ℓ$ -adic Galois representations attached to nonsimple abelian varieties, Ann. Inst. Fourier, Volume 66 (2016) no. 3, pp. 1217-1245 | DOI | MR | Zbl

[11] Martin Orr The André-Pink conjecture : Hecke orbits and weakly special subvarieties (La conjecture d’André-Pink : orbites de Hecke et sous-variétés faiblement spéciales), Ph. D. Thesis, Université Paris Sud (2013) (https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00879010)

[12] Martin Orr Families of abelian varieties with many isogenous fibres, J. Reine Angew. Math., Volume 705 (2015), pp. 211-231 | MR | Zbl

[13] Martin Orr Height bounds and the Siegel property, Algebra Number Theory, Volume 12 (2018) no. 2, pp. 455-478 | MR | Zbl

[14] Jonathan Pila On the algebraic points of a definable set, Sel. Math., New Ser., Volume 15 (2009) no. 1, pp. 151-170 | DOI | MR | Zbl

[15] Richard Pink $ℓ$ -adic algebraic monodromy groups, cocharacters, and the Mumford–Tate conjecture, J. Reine Angew. Math., Volume 495 (1998), pp. 187-237 | DOI | MR | Zbl

[16] Richard Pink A combination of the conjectures of Mordell–Lang and André–Oort, Geometric methods in algebra and number theory (Progress in Mathematics), Volume 235, Birkhäuser, 2005 | DOI | MR | Zbl

[17] Rodolphe Richard Sur quelques questions d’équidistribution en géométrie arithmétique, Ph. D. Thesis, Université de Rennes-1 (2009) (https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00438515)

[18] Rodolphe Richard Répartition galoisienne d’une classe d’isogénie de courbes elliptiques, Int. J. Number Theory, Volume 9 (2013) no. 2, pp. 517-543 | DOI | MR | Zbl

[19] Rodolphe Richard; Emmanuel Ullmo Équidistribution de sous-variétés spéciales et o-minimalité: André–Oort géométrique (2021) (with an appendix with Jiaming Chen) | arXiv

[20] Rodolphe Richard; Andrei Yafaev Topological and equidistributional refinement of the André–Pink–Zannier conjecture at finitely many places, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, Volume 357 (2019) no. 3, pp. 231-235 | DOI | Numdam | Zbl

[21] Rodolphe Richard; Andrei Yafaev Height functions on Hecke orbits and the generalised André-Pink-Zannier conjecture (2021) | arXiv

[22] Jean-Pierre Serre Propriétés conjecturales des groupes de Galois motiviques et des représentations $ℓ$ -adiques, 1994 (Article 161, Œuvres IV)

[23] Emmanuel Ullmo Applications du theorème d’Ax–Lindemann hyperbolique, Compos. Math., Volume 150 (2014) no. 2, pp. 175-190 | DOI | MR | Zbl

[24] Emmanuel Ullmo; Andrei Yafaev Mumford–Tate and generalised Shafarevich conjectures, Ann. Math. Qué., Volume 37 (2013) no. 2, pp. 255-284 | DOI | MR | Zbl

[25] Andrei Yafaev Sous-variétés des variétés de Shimura, Ph. D. Thesis, Université de Rennes-1 (2000) (Available on S.J. Edixhoven’s web-page)

[26] Umberto Zannier Some problems of unlikely intersections in arithmetic and geometry (Annals of Mathematics Studies), Volume 181, Princeton University Press, 2012 (with appendices by David Masser) | MR | Zbl

Cité par Sources :

Commentaires - Politique