Transcendence of $L(1,\chi _s)/\Pi $ in positive characteristic. A simple automata-style proof

Si-Han Liu; Jia-Yan Yao

doi:10.5802/crmath.493

Théorie des nombres

Transcendence of

L (1, χ_{s}) / Π

in positive characteristic. A simple automata-style proof
[Transcendance de

L (1, χ_{s}) / Π

en caractéristique positive. Une preuve simple avec automates finis]

Si-Han Liu ¹ ; Jia-Yan Yao ¹

¹ Department of Mathematics, Tsinghua University, Beijing 100084, P. R. China

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 361 (2023), pp. 953-957.

Résumé
Abstract

Pour le corps des séries formelles de Laurent sur un corps fini, L. Carlitz a défini $Π$ , un analogue du nombre réel $π$ , et D. Goss a défini $L (s, χ)$ , analogues des fonctions $L$ de Dirichlet. G. Damamme a démontré en 1999 la transcendance de $L (1, χ_{s}) / Π$ à l’aide d’un critère de de Mathan. Ensuite Y. Hu a donné en 2018 une preuve à l’aide des automates finis du résultat précédent. Dans ce travail, nous présentons également avec des automates finis une autre preuve plus simple.

For the field of formal Laurent series over a finite field, L. Carlitz defined $Π$ , an analog of the real number $π$ , and D. Goss defined $L (s, χ)$ , analogs of Dirichlet $L$ -functions. G. Damamme proved in 1999 the transcendence of $L (1, χ_{s}) / Π$ via a criterion of de Mathan. Then Y. Hu gave in 2018 an automata-style proof of the above result. In this work, we present another and much simpler automata-style proof.

Reçu le : 2023-02-19
Révisé le : 2023-03-06
Accepté le : 2023-03-07
Publié le : 2023-07-18

DOI : 10.5802/crmath.493

Affiliations des auteurs :

Si-Han Liu ¹ ; Jia-Yan Yao ¹

¹ Department of Mathematics, Tsinghua University, Beijing 100084, P. R. China

Licence :

CC-BY 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

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Si-Han Liu; Jia-Yan Yao. Transcendence of $L(1,\chi _s)/\Pi $ in positive characteristic. A simple automata-style proof. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 361 (2023), pp. 953-957. doi : 10.5802/crmath.493. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.5802/crmath.493/

Bibliographie
Cité par

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[2] Gilles Christol; Teturo Kamae; Michel Mendès France; Gérard Rauzy Suites algébriques, automates et substitutions, Bull. Soc. Math. Fr., Volume 108 (1980), pp. 401-419 | DOI | Numdam | Zbl

[3] Gilles Damamme Étude de $L (s, χ) / π^{s}$ pour des fonctions $L$ relatives à $𝔽_{q} ((T^{- 1}))$ et associées à des caractères de degré $1$ , J. Théor. Nombres Bordeaux, Volume 11 (1999) no. 2, pp. 369-385 | DOI | MR | Zbl

[4] Yining Hu Transcendence of $L (1, χ_{s}) / Π$ and automata, J. Number Theory, Volume 187 (2018), pp. 215-232 | MR

[5] Jiayan Yao Critères de non-automaticité et leurs applications, Acta Arith., Volume 80 (1997) no. 3, pp. 237-248 | Zbl

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