Comptes Rendus
Théorie des nombres
Transcendence of L(1,χ s )/Π in positive characteristic. A simple automata-style proof
[Transcendance de L(1,χ s )/Π en caractéristique positive. Une preuve simple avec automates finis]
Si-Han Liu1 ; Jia-Yan Yao1 
1 Department of Mathematics, Tsinghua University, Beijing 100084, P. R. China
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 361 (2023), pp. 953-957.

Pour le corps des séries formelles de Laurent sur un corps fini, L. Carlitz a défini Π, un analogue du nombre réel π, et D. Goss a défini L(s,χ), analogues des fonctions L de Dirichlet. G. Damamme a démontré en 1999 la transcendance de L(1,χ s )/Π à l’aide d’un critère de de Mathan. Ensuite Y. Hu a donné en 2018 une preuve à l’aide des automates finis du résultat précédent. Dans ce travail, nous présentons également avec des automates finis une autre preuve plus simple.

For the field of formal Laurent series over a finite field, L. Carlitz defined Π, an analog of the real number π, and D. Goss defined L(s,χ), analogs of Dirichlet L-functions. G. Damamme proved in 1999 the transcendence of L(1,χ s )/Π via a criterion of de Mathan. Then Y. Hu gave in 2018 an automata-style proof of the above result. In this work, we present another and much simpler automata-style proof.

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DOI : 10.5802/crmath.493
Si-Han Liu 1 ; Jia-Yan Yao 1

1 Department of Mathematics, Tsinghua University, Beijing 100084, P. R. China
Licence : CC-BY 4.0
Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits 
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[1] Gilles Christol Ensembles presque périodiques k-reconnaissables, Theor. Comput. Sci., Volume 9 (1979), pp. 141-145 | DOI | Zbl

[2] Gilles Christol; Teturo Kamae; Michel Mendès France; Gérard Rauzy Suites algébriques, automates et substitutions, Bull. Soc. Math. Fr., Volume 108 (1980), pp. 401-419 | DOI | Numdam | Zbl

[3] Gilles Damamme Étude de L(s,χ)/π s pour des fonctions L relatives à 𝔽 q ((T -1 )) et associées à des caractères de degré 1, J. Théor. Nombres Bordeaux, Volume 11 (1999) no. 2, pp. 369-385 | DOI | MR | Zbl

[4] Yining Hu Transcendence of L(1,χ s )/Π and automata, J. Number Theory, Volume 187 (2018), pp. 215-232 | MR

[5] Jiayan Yao Critères de non-automaticité et leurs applications, Acta Arith., Volume 80 (1997) no. 3, pp. 237-248 | Zbl

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