New proof and generalization of some results on translated sums over k-almost primes

Ilias Laib

doi:10.5802/crmath.552

Article de recherche - Théorie des nombres

New proof and generalization of some results on translated sums over k-almost primes
[Nouvelle preuve et généralisation de certains résultats sur des sommes translatées sur k-presque premiers]

Ilias Laib ¹

¹ ENSTP and Laboratory of Equations with Partial Non-Linear Derivatives ENS Vieux Kouba, Algiers, Algeria.

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 362 (2024), pp. 481-486.

Résumé
Abstract

Une suite $𝒜$ d’entiers strictement positifs est dite primitive si aucun de ses termes ne divise les autres, Erdős a conjecturé que la somme $f (𝒜, 0) \leq f (ℕ_{1}, 0),$ où $ℕ_{1}$ est la suite des nombres premiers et $f (𝒜, h) = \sum_{a \in 𝒜}$ $\frac{1}{a (log a + h)}$ . En $2019$ , Laib et al. ont prouvé que la conjecture analogue d’Erdős $f (𝒜, h) \leq f (ℕ_{1}, h)$ est fausse pour $h \geq 81$ sur la suite de nombres semi-premiers. Récemment, Lichtman a donné le meilleur minorant $h = 1.04 \dots$ sur les nombres semi-premiers et il a obtenu d’autres résultats pour des sommes translatées sur $k$ -presque premiers avec $2 < k \leq 20$ et lorsque $k$ est suffisamment grand. Dans cette note, nous proposons une nouvelle démonstration du même résultat sur les nombres semi-premiers, et nous généralisons le résultat sur les $k$ -presque premiers pour tout $k \geq 2$ .

A sequence $𝒜$ of strictly positive integers is said to be primitive if none of its terms divides the others, Erdős conjectured that the sum $f (𝒜, 0) \leq f (ℕ_{1}, 0),$ where $ℕ_{1}$ is the sequence of prime numbers and $f (𝒜, h) = \sum_{a \in 𝒜}$ $\frac{1}{a (log a + h)}$ . In 2019, Laib et al. proved that the analogous conjecture of Erdős $f (𝒜, h) \leq f (ℕ_{1}, h)$ is false for $h \geq 81$ on a sequence of semiprimes. Recently, Lichtman gave the best lower bound $h = 1.04 \dots$ on semiprimes and he obtained other results for translated sums on $k$ -almost primes with $2 < k \leq 20$ and when $k$ sufficiently large. In this note, we propose a new proof of the same result on semiprimes, and we generalize the result on $k$ -almost primes for any $k \geq 2$ .

Reçu le : 2023-01-14
Révisé le : 2023-03-14
Accepté le : 2023-07-26
Publié le : 2024-05-31

DOI : 10.5802/crmath.552

Classification : 11B05, 11Y55, 11L20

Affiliations des auteurs :

Ilias Laib ¹

¹ ENSTP and Laboratory of Equations with Partial Non-Linear Derivatives ENS Vieux Kouba, Algiers, Algeria.

Licence :

CC-BY 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

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Ilias Laib. New proof and generalization of some results on translated sums over k-almost primes. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 362 (2024), pp. 481-486. doi : 10.5802/crmath.552. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.5802/crmath.552/

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