Une suite d’entiers strictement positifs est dite primitive si aucun de ses termes ne divise les autres, Erdős a conjecturé que la somme où est la suite des nombres premiers et . En , Laib et al. ont prouvé que la conjecture analogue d’Erdős est fausse pour sur la suite de nombres semi-premiers. Récemment, Lichtman a donné le meilleur minorant sur les nombres semi-premiers et il a obtenu d’autres résultats pour des sommes translatées sur -presque premiers avec et lorsque est suffisamment grand. Dans cette note, nous proposons une nouvelle démonstration du même résultat sur les nombres semi-premiers, et nous généralisons le résultat sur les -presque premiers pour tout .
A sequence of strictly positive integers is said to be primitive if none of its terms divides the others, Erdős conjectured that the sum where is the sequence of prime numbers and . In 2019, Laib et al. proved that the analogous conjecture of Erdős is false for on a sequence of semiprimes. Recently, Lichtman gave the best lower bound on semiprimes and he obtained other results for translated sums on -almost primes with and when sufficiently large. In this note, we propose a new proof of the same result on semiprimes, and we generalize the result on -almost primes for any .
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Ilias Laib 1
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Ilias Laib. New proof and generalization of some results on translated sums over k-almost primes. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 362 (2024), pp. 481-486. doi : 10.5802/crmath.552. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.5802/crmath.552/
[1] High precision computation of Hardy-Littlewood constants (http://www.math.u-bordeaux1.fr/ cohen/)
[2] Note on sequences of integers no one of which is divisible by any other, J. Lond. Math. Soc., Volume 10 (1935), pp. 126-128 | DOI | MR | Zbl
[3] Upper bound of for primitive sequences, Proc. Am. Math. Soc., Volume 117 (1993) no. 4, pp. 891-895 | DOI | Zbl
[4] Note on translated sum on primitive sequences, Notes Number Theory Discrete Math., Volume 27 (2021) no. 3, pp. 39-43 | DOI | Zbl
[5] Somme translatée sur des suites primitives et la conjecture d’Erdő s, C. R. Math., Volume 357 (2019) no. 5, pp. 413-417 | DOI | Zbl
[6] On a sum over primitive sequences of finite degree, Math. Montisnigri, Volume 53 (2022), pp. 26-32 | DOI | MR | Zbl
[7] Almost primes and the Banks–Martin conjecture, J. Number Theory, Volume 211 (2020), pp. 513-529 | DOI | MR | Zbl
[8] Translated sums of primitive sets, C. R. Math., Volume 360 (2022), pp. 409-414 | DOI | Numdam | MR | Zbl
[9] The Erdős conjecture for primitive sets, Proc. Am. Math. Soc., Ser. B, Volume 6 (2019), pp. 1-14 | DOI | Zbl
[10] On a problem of Erdős concerning primitive sequences, Math. Comput., Volume 60 (1993) no. 202, pp. 827-834 | DOI | Zbl
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