Comptes Rendus
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Article de recherche - Théorie des nombres
The Baker–Schmidt problem for dual approximation and some classes of manifolds
[Le problème de Baker–Schmidt pour l’approximation duale et quelques classes de variétés]
Mumtaz Hussain1  ; Johannes Schleischitz2
1 Mumtaz Hussain, Department of Mathematical and Physical Sciences, La Trobe University, Bendigo 3552, Australia
2 Middle East Technical University, Northern Cyprus Campus, Kalkanli, Güzelyurt, Cyprus
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 362 (2024), pp. 817-828.

Le problème de Baker–Schmidt généralisé (1970) concerne la mesure de Hausdorff f de l’ensemble des points Ψ-approximables sur une variété non dégénérée. Nous affinons et étendons notre travail précédent [Int. Math. Res. Not. IMRN 2021, no. 12, 8845-8867] dans lequel nous avons résolu le problème (pour l’approximation duale) pour les hypersurfaces. Nous vérifions le GBSP pour certaines classes de sous-variétés non dégénérées de codimension supérieure à 1. Concrètement, pour la codimension deux ou trois, nous donnons des exemples de variétés où les variables dépendantes peuvent être choisies comme des formes quadratiques. Notre méthode exige que la variété ait une dimension paire au moins égale au minimum de quatre et à la moitié de la dimension de l’espace ambiant.

Nous conjecturons que ces restrictions sur la dimension de la variété sont suffisantes pour fournir des exemples similaires en général.

The Generalised Baker–Schmidt Problem (1970) concerns the Hausdorff f-measure of the set of Ψ-approximable points on a nondegenerate manifold. We refine and extend our previous work [Int. Math. Res. Not. IMRN 2021, no. 12, 8845–8867] in which we settled the problem (for dual approximation) for hypersurfaces. We verify the GBSP for certain classes of nondegenerate submanifolds of codimension greater than 1. Concretely, for codimension two or three, we provide examples of manifolds where the dependent variables can be chosen as quadratic forms. Our method requires the manifold to have even dimension at least the minimum of four and half the dimension of the ambient space. We conjecture that these restrictions on the dimension of the manifold are sufficient to provide similar examples in general.

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DOI : 10.5802/crmath.585
Classification : 28A78, 58C35
Keywords: Baker–Schmidt Problem, Hausdorff measure and dimension, Jarnik theorem
Mot clés : Problème de Baker–Schmidt, mesure et dimension de Hausdorff, théorème de Jarnik

Mumtaz Hussain 1 ; Johannes Schleischitz 2

1 Mumtaz Hussain, Department of Mathematical and Physical Sciences, La Trobe University, Bendigo 3552, Australia
2 Middle East Technical University, Northern Cyprus Campus, Kalkanli, Güzelyurt, Cyprus
Licence : CC-BY 4.0
Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits 
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Mumtaz Hussain; Johannes Schleischitz. The Baker–Schmidt problem for dual approximation and some classes of manifolds. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 362 (2024), pp. 817-828. doi : 10.5802/crmath.585. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.5802/crmath.585/

[1] Dzmitry Badziahin; Victor Beresnevich; Sanju Velani Inhomogeneous theory of dual Diophantine approximation on manifolds, Adv. Math., Volume 232 (2013), pp. 1-35 | DOI | MR | Zbl

[2] Victor Beresnevich A Groshev type theorem for convergence on manifolds, Acta Math. Hung., Volume 94 (2002) no. 1-2, pp. 99-130 | DOI | MR | Zbl

[3] V. I. Bernik Application of the Hausdorff dimension in the theory of Diophantine approximations, Acta Arith., Volume 42 (1983) no. 3, pp. 219-253 | DOI | MR | Zbl

[4] Dzmitry Badziahin; Stephen Harrap; Mumtaz Hussain An inhomogeneous Jarník type theorem for planar curves, Math. Proc. Camb. Philos. Soc., Volume 163 (2017) no. 1, pp. 47-70 | DOI | MR | Zbl

[5] Alan Baker; Wolfgang M. Schmidt Diophantine approximation and Hausdorff dimension, Proc. Lond. Math. Soc., Volume 21 (1970), pp. 1-11 | DOI | MR | Zbl

[6] Mumtaz Hussain; Johannes Schleischitz; David Simmons Diophantine approximation on curves (2019) (https://arxiv.org/abs/1902.02094)

[7] Mumtaz Hussain; Johannes Schleischitz; David Simmons The generalized Baker–Schmidt problem on hypersurfaces, Int. Math. Res. Not., Volume 2021 (2021) no. 12, pp. 8845-8867 | DOI | MR | Zbl

[8] Jing-Jing Huang Hausdorff theory of dual approximation on planar curves, J. Reine Angew. Math., Volume 740 (2018), pp. 63-76 | DOI | MR | Zbl

[9] Jing-Jing Huang The density of rational points near hypersurfaces, Duke Math. J., Volume 169 (2020) no. 11, pp. 2045-2077 | DOI | MR | Zbl

[10] Mumtaz Hussain A Jarník type theorem for planar curves:everything about the parabola, Math. Proc. Camb. Philos. Soc., Volume 159 (2015) no. 1, pp. 47-60 | DOI | MR | Zbl

[11] D. Y. Kleinbock; G. A. Margulis Flows on homogeneous spaces and Diophantine approximation on manifolds, Ann. Math., Volume 148 (1998) no. 1, pp. 339-360 | DOI | MR | Zbl

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