Further than Descartes’ rule of signs

Yousra Gati; Vladimir Petrov Kostov; Mohamed Chaouki Tarchi

doi:10.5802/crmath.610

Article de recherche - Analyse et géométrie complexes

Further than Descartes’ rule of signs
[Au-delà de la règle des signes de Descartes]

Yousra Gati ¹ ; Vladimir Petrov Kostov ² ; Mohamed Chaouki Tarchi ¹

¹ Université de Carthage, EPT-LIM, Tunisie
² Université Côte d’Azur, CNRS, LJAD, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 362 (2024), pp. 863-881.

Résumé
Abstract

La suite de signes des coefficients d’un polynôme réel $Q : = Σ_{j = 0}^{d} a_{j} x^{j}$ , $a_{j} \neq 0$ , est donnée par $σ (Q) : = (sgn (a_{d}), ..., sgn (a_{0}))$ . Les quantités $pos$ et $neg$ de racines positives et négatives de $Q$ satisfont la règle des signes de Descartes. Un couple $(σ_{0}, (pos, neg))$ , où $σ_{0}$ est une suite de signes de longueur $d + 1$ , est « réalisable » s’il existe un polynôme $Q$ avec $pos$ racines simples positives et $neg$ racines simples négatives, avec $(d - pos - neg) / 2$ paires complexes conjuguées et avec $σ (Q) = σ_{0}$ . Nous présentons une série de couples (suite de signes, paire $(pos, neg)$ ) dépendant de deux paramètres entiers et avec $pos \geq 1$ , $neg \geq 1$ , qui ne sont pas réalisables. Pour $d = 9$ , nous donnons la liste exhaustive des couples réalisables avec deux changements de signe dans la suite de signes.

The sign pattern defined by the real polynomial $Q : = Σ_{j = 0}^{d} a_{j} x^{j}$ , $a_{j} \neq 0$ , is the string $σ (Q) : = (sgn (a_{d}), ..., sgn (a_{0}))$ . The quantities $pos$ and $neg$ of positive and negative roots of $Q$ satisfy Descartes’ rule of signs. A couple $(σ_{0}, (pos, neg))$ , where $σ_{0}$ is a sign pattern of length $d + 1$ , is realizable if there exists a polynomial $Q$ with $pos$ positive and $neg$ negative simple roots, with $(d - pos - neg) / 2$ complex conjugate pairs and with $σ (Q) = σ_{0}$ . We present a series of couples (sign pattern, pair $(pos, neg)$ ) depending on two integer parameters and with $pos \geq 1$ , $neg \geq 1$ , which is not realizable. For $d = 9$ , we give the exhaustive list of realizable couples with two sign changes in the sign pattern.

Reçu le : 2023-02-15
Accepté le : 2024-01-07
Accepté après révision le : 2024-01-14
Publié le : 2024-10-07

DOI : 10.5802/crmath.610

Classification : 26C10, 30C15
Keywords: Real polynomial in one variable, hyperbolic polynomial, sign pattern, Descartes’ rule of signs
Mot clés : Polynôme à une variable réelle, polynôme hyperbolique, suite de signes, règle de Descartes

Affiliations des auteurs :

Yousra Gati ¹ ; Vladimir Petrov Kostov ² ; Mohamed Chaouki Tarchi ¹

¹ Université de Carthage, EPT-LIM, Tunisie
² Université Côte d’Azur, CNRS, LJAD, France

Licence :

CC-BY 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

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TY  - JOUR
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JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2024
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Yousra Gati; Vladimir Petrov Kostov; Mohamed Chaouki Tarchi. Further than Descartes’ rule of signs. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 362 (2024), pp. 863-881. doi : 10.5802/crmath.610. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.5802/crmath.610/

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Cité par Sources :

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