Further than Descartes’ rule of signs

Yousra Gati; Vladimir Petrov Kostov; Mohamed Chaouki Tarchi

doi:10.5802/crmath.610

Research article - Complex analysis and geometry

Further than Descartes’ rule of signs

Yousra Gati ¹ ; Vladimir Petrov Kostov ²; Mohamed Chaouki Tarchi ¹

¹ Université de Carthage, EPT-LIM, Tunisie
² Université Côte d’Azur, CNRS, LJAD, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 362 (2024), pp. 863-881.

Abstract
Résumé

The sign pattern defined by the real polynomial $Q : = Σ_{j = 0}^{d} a_{j} x^{j}$ , $a_{j} \neq 0$ , is the string $σ (Q) : = (sgn (a_{d}), ..., sgn (a_{0}))$ . The quantities $pos$ and $neg$ of positive and negative roots of $Q$ satisfy Descartes’ rule of signs. A couple $(σ_{0}, (pos, neg))$ , where $σ_{0}$ is a sign pattern of length $d + 1$ , is realizable if there exists a polynomial $Q$ with $pos$ positive and $neg$ negative simple roots, with $(d - pos - neg) / 2$ complex conjugate pairs and with $σ (Q) = σ_{0}$ . We present a series of couples (sign pattern, pair $(pos, neg)$ ) depending on two integer parameters and with $pos \geq 1$ , $neg \geq 1$ , which is not realizable. For $d = 9$ , we give the exhaustive list of realizable couples with two sign changes in the sign pattern.

La suite de signes des coefficients d’un polynôme réel $Q : = Σ_{j = 0}^{d} a_{j} x^{j}$ , $a_{j} \neq 0$ , est donnée par $σ (Q) : = (sgn (a_{d}), ..., sgn (a_{0}))$ . Les quantités $pos$ et $neg$ de racines positives et négatives de $Q$ satisfont la règle des signes de Descartes. Un couple $(σ_{0}, (pos, neg))$ , où $σ_{0}$ est une suite de signes de longueur $d + 1$ , est « réalisable » s’il existe un polynôme $Q$ avec $pos$ racines simples positives et $neg$ racines simples négatives, avec $(d - pos - neg) / 2$ paires complexes conjuguées et avec $σ (Q) = σ_{0}$ . Nous présentons une série de couples (suite de signes, paire $(pos, neg)$ ) dépendant de deux paramètres entiers et avec $pos \geq 1$ , $neg \geq 1$ , qui ne sont pas réalisables. Pour $d = 9$ , nous donnons la liste exhaustive des couples réalisables avec deux changements de signe dans la suite de signes.

Received: 2023-02-15
Accepted: 2024-01-07
Revised after acceptance: 2024-01-14
Published online: 2024-10-07

DOI: 10.5802/crmath.610

Classification: 26C10, 30C15
Keywords: Real polynomial in one variable, hyperbolic polynomial, sign pattern, Descartes’ rule of signs
Mots-clés : Polynôme à une variable réelle, polynôme hyperbolique, suite de signes, règle de Descartes

Author's affiliations:

Yousra Gati ¹; Vladimir Petrov Kostov ²; Mohamed Chaouki Tarchi ¹

¹ Université de Carthage, EPT-LIM, Tunisie
² Université Côte d’Azur, CNRS, LJAD, France

License:

CC-BY 4.0

Copyrights: The authors retain unrestricted copyrights and publishing rights

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TY  - JOUR
AU  - Yousra Gati
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AU  - Mohamed Chaouki Tarchi
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JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2024
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Yousra Gati; Vladimir Petrov Kostov; Mohamed Chaouki Tarchi. Further than Descartes’ rule of signs. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 362 (2024), pp. 863-881. doi : 10.5802/crmath.610. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.5802/crmath.610/

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