Stable domains for higher order elliptic operators

Jean-François Grosjean; Antoine Lemenant; Rémy  Mougenot

doi:10.5802/crmath.630

Article de recherche - Équations aux dérivées partielles

Stable domains for higher order elliptic operators
[Domaines stables pour des opérateurs elliptiques d’ordre quelconque]

Jean-François Grosjean ¹ ; Antoine Lemenant ¹ ; Rémy Mougenot ¹

¹ Université de Lorraine, CNRS, IECL, F-54000 Nancy, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 362 (2024), pp. 1189-1203.

Résumé
Abstract

Dans cet article nous démontrons que tout domaine satisfaisant une condition de $(δ_{0}, r_{0})$ -capacité de premier ordre, est automatiquement $(m, p)$ stable pour tout $m \geq 1$ et pour tout $p > 1$ . En particulier, ceci inclus tous les domaines suffisamment réguliers tels que les domaines $C^{1}$ , Lipschitz, Reifenberg-plat, mais la condition est suffisamment faible pour inclure des points de type cusp. Notre résultat généralise des résultats antérieurs de Hayouni et Pierre valables seulement en dimension $N = 2, 3$ et étend aussi des résultats antérieurs de Bucur et Zolésio pour des opérateurs d’ordre supérieurs, avec une preuve plus simple et différente.

This paper is devoted to prove that any domain satisfying a $(δ_{0}, r_{0})$ -capacitary condition of first order is automatically $(m, p)$ -stable for all $m ⩾ 1$ and $p > 1$ , and for any dimension $N ⩾ 1$ . In particular, this includes regular enough domains such as $𝒞^{1}$ -domains, Lipschitz domains, Reifenberg-flat domains, but is sufficiently weak to also include cusp points. Our result extends some of the results of Hayouni and Pierre valid only for $N = 2, 3$ , and partially extends the results of Bucur and Zolésio for higher order operators, with a different and simpler proof.

Reçu le : 2023-12-01
Révisé le : 2024-02-16
Accepté le : 2024-03-10
Publié le : 2024-11-05

DOI : 10.5802/crmath.630

Classification : 49G05, 35J20, 49Q20
Keywords: Capacity, stable domains, $\gamma _m$-convergence, Mosco-convergence, shape optimisation
Mot clés : Capacité, domaines stables, $\gamma _m$-convergence, Mosco-convergence, optimisation de forme

Affiliations des auteurs :

Jean-François Grosjean ¹ ; Antoine Lemenant ¹ ; Rémy Mougenot ¹

¹ Université de Lorraine, CNRS, IECL, F-54000 Nancy, France

Licence :

CC-BY 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

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TY  - JOUR
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JO  - Comptes Rendus. Mathématique
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Jean-François Grosjean; Antoine Lemenant; Rémy  Mougenot. Stable domains for higher order elliptic operators. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 362 (2024), pp. 1189-1203. doi : 10.5802/crmath.630. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.5802/crmath.630/

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