The number system in rational base $3/2$ and the $3x+1$ problem

Shalom Eliahou; Jean-Louis Verger-Gaugry

doi:10.5802/crmath.662

Article de recherche - Combinatoire, Théorie des nombres

The number system in rational base

3 / 2

and the

3 x + 1

problem
[Le système de numération en base rationnelle 3/2 et le problème

3 x + 1

]

Shalom Eliahou ^1,² ; Jean-Louis Verger-Gaugry ³

¹ Univ. Littoral Côte d’Opale, UR 2597 – LMPA – Laboratoire de Mathématiques Pures et Appliquées Joseph Liouville, F-62100 Calais, France
² CNRS FR 2037, France
³ Université-Grenoble-Alpes, Université Savoie Mont Blanc, F-73000 Chambéry, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 363 (2025), pp. 329-336.

Abstract (VO)
Résumé

The representation of numbers in rational base $p / q$ was introduced in 2008 by Akiyama, Frougny & Sakarovitch, with a special focus on the case $p / q = 3 / 2$ . Unnoticed since then, natural questions related to representations in that specific base turn out to intimately involve the Collatz $3 x + 1$ function. Our purpose in this note is to expose these links and motivate further research into them.

La représentation des nombres dans la base rationnelle $p / q$ a été introduite en 2008 par Akiyama, Frougny & Sakarovitch, avec un accent particulier sur le cas $p / q = 3 / 2$ . Des questions naturelles liées aux représentations dans cette base spécifique, passées inaperçues jusqu’ici, s’avèrent impliquer intimement la fonction de Collatz $3 x + 1$ . Le but de cette note est d’exposer ces liens et de motiver des recherches plus approfondies sur ceux-ci.

Reçu le : 2024-04-24
Révisé le : 2024-05-22
Accepté le : 2024-06-29
Publié le : 2025-05-20

DOI : 10.5802/crmath.662

Classification : 11B83, 68R15
Keywords: Collatz conjecture, iteration, numeration, odometer
Mots-clés : Conjecture de Collatz, itération, numération, odomètre

Affiliations des auteurs :

Shalom Eliahou ^{1, 2} ; Jean-Louis Verger-Gaugry ³

¹ Univ. Littoral Côte d’Opale, UR 2597 – LMPA – Laboratoire de Mathématiques Pures et Appliquées Joseph Liouville, F-62100 Calais, France
² CNRS FR 2037, France
³ Université-Grenoble-Alpes, Université Savoie Mont Blanc, F-73000 Chambéry, France

Licence :

CC-BY 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

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TY  - JOUR
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AU  - Jean-Louis Verger-Gaugry
TI  - The number system in rational base $3/2$ and the $3x+1$ problem
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2025
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Shalom Eliahou; Jean-Louis Verger-Gaugry. The number system in rational base $3/2$ and the $3x+1$ problem. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 363 (2025), pp. 329-336. doi : 10.5802/crmath.662. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.5802/crmath.662/

Bibliographie
Cité par

[1] The ultimate challenge: the $3 x + 1$ problem (Jeffrey C. Lagarias, ed.), American Mathematical Society, 2010, xiv+344 pages | DOI | MR | Zbl

[2] Shigeki Akiyama; Christiane Frougny; Jacques Sakarovitch Powers of rationals modulo 1 and rational base number systems, Isr. J. Math., Volume 168 (2008), pp. 53-91 | DOI | MR | Zbl

[3] David Barina Convergence verification of the Collatz problem, J. Supercomput., Volume 77 (2021), pp. 2681-2688 | DOI

[4] Shalom Eliahou The $3 x + 1$ problem: new lower bounds on nontrivial cycle lengths, Discrete Math., Volume 118 (1993) no. 1-3, pp. 45-56 | DOI | MR | Zbl

[5] Johannes F. Morgenbesser; Wolfgang Steiner; Jörg M. Thuswaldner Patterns in rational base number systems, J. Fourier Anal. Appl., Volume 19 (2013) no. 2, pp. 225-250 | DOI | MR | Zbl

[6] Terence Tao Almost all orbits of the Collatz map attain almost bounded values, Forum Math. Pi, Volume 10 (2022), E12, 56 pages | DOI | MR | Zbl

Cité par Sources :

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