Quadratic forms in $I^n$ of dimension $2^n+2^{n-1}$

Curtis R. Harvey; Nikita A. Karpenko

doi:10.5802/crmath.668

Article de recherche - Géométrie algébrique

Quadratic forms in

I^{n}

of dimension

2^{n} + 2^{n - 1}

[Formes quadratiques de dimension

2^{n} + 2^{n - 1}

dans

I^{n}

]

Curtis R. Harvey ¹ ; Nikita A. Karpenko ¹

¹ Mathematical & Statistical Sciences, University of Alberta, Edmonton, Canada

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 362 (2024), pp. 1539-1543.

Résumé
Abstract

Pour $n \geq 3$ , en confirmant une version faible d’une conjecture de Hoffmann, on montre que toute forme quadratique anisotrope de dimension $2^{n} + 2^{n - 1}$ dans $I^{n}$ se déploie sur une extension finie du corps de base d’un degré qui n’est pas divisible par $4$ . Le premier nouveau cas est celui de $n = 4$ , où l’on obtient une classification des formes quadratiques correspondantes à une extension de degré impair près ce qui donne une forte borne supérieure pour leur $2$ -dimension essentielle. De plus, on détermine le groupe de Chow réduit de la grassmannienne orthogonale maximale de la forme quadratique et on en déduit que sa dimension $2$ -canonique est égale à $2^{n} + 2^{n - 2} - 2$ .

For $n \geq 3$ , confirming a weak version of a conjecture of Hoffmann, we show that every anisotropic quadratic form in $I^{n}$ of dimension $2^{n} + 2^{n - 1}$ splits over a finite extension of the base field of degree not divisible by $4$ . The first new case is $n = 4$ , where we obtain a classification of the corresponding quadratic forms up to odd degree base field extensions and get this way a strong upper bound on their essential $2$ -dimension. As well, we compute the reduced Chow group of the maximal orthogonal grassmannian of the quadratic form and conclude that its canonical $2$ -dimension is $2^{n} + 2^{n - 2} - 2$ .

Reçu le : 2024-03-10
Révisé le : 2024-07-01
Accepté le : 2024-07-10
Publié le : 2024-11-14

DOI : 10.5802/crmath.668

Classification : 11E04, 14C25
Keywords: Quadratic forms over fields, projective homogeneous varieties, Chow rings
Mot clés : Formes quadratiques sur des corps, variétés projectives homogènes, anneaux de Chow.

Affiliations des auteurs :

Curtis R. Harvey ¹ ; Nikita A. Karpenko ¹

¹ Mathematical & Statistical Sciences, University of Alberta, Edmonton, Canada

Licence :

CC-BY 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

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TY  - JOUR
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TI  - Quadratic forms in $I^n$ of dimension $2^n+2^{n-1}$
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
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Curtis R. Harvey; Nikita A. Karpenko. Quadratic forms in $I^n$ of dimension $2^n+2^{n-1}$. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 362 (2024), pp. 1539-1543. doi : 10.5802/crmath.668. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.5802/crmath.668/

Bibliographie
Cité par

[1] Ricardo Baeza Quadratic forms over semilocal rings, Lecture Notes in Mathematics, 655, Springer, 1978, vi+199 pages | DOI | MR | Zbl

[2] Grégory Berhuy; Giordano Favi Essential dimension: a functorial point of view (after A. Merkurjev), Doc. Math., Volume 8 (2003), pp. 279-330 | DOI | MR | Zbl

[3] Vladimir Chernousov; Alexander Merkurjev Essential dimension of spinor and Clifford groups, Algebra Number Theory, Volume 8 (2014) no. 2, pp. 457-472 | DOI | MR | Zbl

[4] Richard Elman; Nikita A. Karpenko; Alexander Merkurjev The algebraic and geometric theory of quadratic forms, Colloquium Publications, 56, American Mathematical Society, 2008, viii+435 pages | DOI | MR | Zbl

[5] Frédéric Faivre Liaison des formes de Pfister et corps de fonctions de quadriques en caractéristique $2$ , Ph. D. Thesis, Université de Franche-Compte, Besançon (2006)

[6] Detlev W. Hoffmann On the dimensions of anisotropic quadratic forms in $I^{4}$ , Invent. Math., Volume 131 (1998) no. 1, pp. 185-198 | DOI | MR | Zbl

[7] O. T. Izhboldin On the cohomology groups of the field of rational functions, Mathematics in St. Petersburg (Amer. Math. Soc. Transl.), Volume 174, American Mathematical Society, 1996, pp. 21-44 | DOI | MR | Zbl

[8] Nikita A. Karpenko Canonical dimension, Proceedings of the International Congress of Mathematicians. Volume II, Hindustan Book Agency (2010), pp. 146-161 | MR | Zbl

[9] Nikita A. Karpenko Upper motives of algebraic groups and incompressibility of Severi-Brauer varieties, J. Reine Angew. Math., Volume 677 (2013), pp. 179-198 | DOI | MR | Zbl

[10] Nikita A. Karpenko Minimal canonical dimensions of quadratic forms, Doc. Math., Volume 2015 (2015), pp. 367-385 | MR | Zbl

[11] Alexander Merkurjev Essential dimension: a survey, Transform. Groups, Volume 18 (2013) no. 2, pp. 415-481 | DOI | MR | Zbl

[12] Albrecht Pfister Quadratische Formen in beliebigen Körpern, Invent. Math., Volume 1 (1966), pp. 116-132 | DOI | MR | Zbl

[13] Eric Primozic Motivic Steenrod operations in characteristic $p$ , Forum Math. Sigma, Volume 8 (2020), e52, 25 pages | DOI | MR | Zbl

[14] Burt Totaro Essential dimension of the spin groups in characteristic 2, Comment. Math. Helv., Volume 94 (2019) no. 1, pp. 1-20 | DOI | MR | Zbl

[15] Alexander Vishik Motives of quadrics with applications to the theory of quadratic forms, Geometric methods in the algebraic theory of quadratic forms (Lecture Notes in Mathematics), Volume 1835, Springer, 2004, pp. 25-101 | DOI | MR | Zbl

[16] Alexander Vishik On the Chow groups of quadratic Grassmannians, Doc. Math., Volume 10 (2005), pp. 111-130 | DOI | MR | Zbl

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