Differential of the Stretch Tensor for Any Dimension with Applications to Quotient Geodesics

Olivier Bisson; Xavier Pennec

doi:10.5802/crmath.692

Article de recherche - Géométrie et Topologie, Mécanique

Differential of the Stretch Tensor for Any Dimension with Applications to Quotient Geodesics
[Différentielle du tenseur de déformation en toute dimension et applications aux géodésiques quotient]

Olivier Bisson ¹ ; Xavier Pennec ¹

¹ Université Côte d’Azur, INRIA, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 362 (2024), pp. 1847-1856.

Résumé
Abstract

La décomposition polaire $X = W R$ , avec $X \in GL (n, ℝ)$ , $W \in 𝒮_{+} (n)$ et $R \in 𝒪_{n}$ , suggère une action à droite du groupe orthogonal $𝒪_{n}$ sur le groupe général linéaire $GL (n, ℝ)$ . Équipé de la métrique de Frobenius, le fibré $𝒪_{n}$ -principal $π : X \in GL (n, ℝ) \mapsto X 𝒪_{n} \in GL (n, ℝ) / 𝒪_{n}$ devient une submersion Riemannienne. Dans cet article, nous obtenons une expression pour la dérivée en toute dimension de son unique section symétrique $s \circ π$ , en termes d’une solution d’une équation de Sylvester. Nous discutons comment résoudre ce type d’équation et vérifions que notre formule coïncide avec celles dérivées dans la littérature en basses dimensions. Nous appliquons notre résultat à la caractérisation des géodésiques de la métrique de Frobenius dans l’espace quotient $GL (n, ℝ) / 𝒪_{n}$ .

The polar decomposition $X = W R$ , with $X \in GL (n, ℝ)$ , $W \in 𝒮_{+} (n)$ , and $R \in 𝒪_{n}$ , suggests a right action of the orthogonal group $𝒪_{n}$ on the general linear group $GL (n, ℝ)$ . Equipped with the Frobenius metric, the $𝒪_{n}$ -principal bundle $π : X \in GL (n, ℝ) \mapsto X 𝒪_{n} \in GL (n, ℝ) / 𝒪_{n}$ becomes a Riemannian submersion. In this note, we derive an expression for the derivative of its unique symmetric section $s \circ π$ in any dimension, in terms of a solution to a Sylvester equation. We discuss how to solve this type of equation and verify that our formula coincides with those derived in the literature for low dimensions. We apply our result to the characterization of geodesics of the Frobenius metric in the quotient space $GL (n, ℝ) / 𝒪_{n}$ .

Reçu le : 2024-07-12
Révisé le : 2024-09-13
Accepté le : 2024-09-22
Publié le : 2024-11-25

Zbl

DOI : 10.5802/crmath.692

Classification : 53A17, 53C22, 53C80, 15A24
Keywords: Polar Decomposition, stretch Tensor, quotient Geodesics
Mots-clés : Décomposition polaire, tenseur de déformation, géodésiques quotient

Affiliations des auteurs :

Olivier Bisson ¹ ; Xavier Pennec ¹

¹ Université Côte d’Azur, INRIA, France

Licence :

CC-BY 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

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Olivier Bisson; Xavier Pennec. Differential of the Stretch Tensor for Any Dimension with Applications to Quotient Geodesics. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 362 (2024), pp. 1847-1856. doi : 10.5802/crmath.692. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.5802/crmath.692/

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