Operator algebraic characterization of the noncommutative Poisson boundary

Cyril Houdayer

doi:10.5802/crmath.715

Article de recherche - Analyse fonctionnelle

Operator algebraic characterization of the noncommutative Poisson boundary
[Caractérisation en algèbres d’opérateurs de la frontière de Poisson noncommutative]

Cyril Houdayer ¹

¹ École Normale Supérieure, Département de Mathématiques et Applications, Université Paris-Saclay, 45 rue d’Ulm, 75230 Paris Cedex 05, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 363 (2025), pp. 199-204.

Résumé
Abstract

Nous obtenons une caractérisation en algèbres opérateurs de la frontière de Furstenberg–Poisson noncommutative $L (Γ) \subset L (Γ ↷ B)$ associée à une mesure de probabilité admissible $μ \in Prob (Γ)$ pour laquelle la $(Γ, μ)$ -frontière de Furstenberg–Poisson $(B, ν_{B})$ est uniquement $μ$ -stationnaire. Il s’agit d’une généralisation noncommutative du théorème de structure de Nevo–Sageev [14]. Nous appliquons ce résultat en combinaison avec des travaux antérieurs pour fournir des pistes supplémentaires afin de résoudre la conjecture de rigidité de Connes pour les réseaux de rang supérieur.

We obtain an operator algebraic characterization of the noncommutative Furstenberg–Poisson boundary $L (Γ) \subset L (Γ ↷ B)$ associated with an admissible probability measure $μ \in Prob (Γ)$ for which the $(Γ, μ)$ -Furstenberg–Poisson boundary $(B, ν_{B})$ is uniquely $μ$ -stationary. This is a noncommutative generalization of Nevo–Sageev’s structure theorem [14]. We apply this result in combination with previous works to provide further evidence towards Connes’ rigidity conjecture for higher rank lattices.

Reçu le : 2024-11-04
Accepté le : 2024-12-19
Publié le : 2025-03-25

DOI : 10.5802/crmath.715

Classification : 20G25, 22D25, 46L10, 46L55
Keywords: Connes’ rigidity conjecture, higher rank lattices, noncommutative Furstenberg–Poisson boundaries, von Neumann algebras
Mots-clés : Conjecture de rigidité de Connes, réseaux de rang supérieur, frontières de Furstenberg–Poisson noncommutatives, algèbres de von Neumann

Affiliations des auteurs :

Cyril Houdayer ¹

¹ École Normale Supérieure, Département de Mathématiques et Applications, Université Paris-Saclay, 45 rue d’Ulm, 75230 Paris Cedex 05, France

Licence :

CC-BY 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

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Cyril Houdayer. Operator algebraic characterization of the noncommutative Poisson boundary. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 363 (2025), pp. 199-204. doi : 10.5802/crmath.715. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.5802/crmath.715/

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