Comptes Rendus
Article de recherche - Algèbre, Théorie des nombres
Normal points on Artin–Schreier curves over finite fields
[Points normaux sur les courbes d’Artin–Schreier sur des corps finis]
Giorgos Kapetanakis1  ; Lucas Reis2 
1 Department of Mathematics, University of Thessaly, 3rd km Old National Road Lamia–Athens, 35100, Lamia, Greece
2 Departamento de Matemática, Universidade Federal de Minas Gerais, UFMG, Belo Horizonte MG, Brazil
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 363 (2025), pp. 541-554.

In 2022, S. D. Cohen and the two authors introduced and studied the concept of (r,n)-freeness on finite cyclic groups G for suitable integers r, n, which is an arithmetic way of capturing elements of special forms that lie in the subgroups of G. Combining this machinery with some character sum techniques, they explored the existence of points (x0,y0) on affine curves yn=f(x) defined over a finite field F whose coordinates are generators of the multiplicative cyclic group F∗. In this paper we develop the natural additive counterpart of this work for finite fields. Namely, any finite extension E of a finite field F with Q elements is a cyclic F[x]-module induced by the Frobenius automorphism α↦αQ, and any generator of this module is said to be a normal element over F. We introduce and study the concept of (f,g)-freeness on this module structure for suitable polynomials f,g∈F[x]. As a main application of the machinery developed in this paper, we study the existence of Fpn-rational points in the Artin–Schreier curve Af:yp−y=f(x) whose coordinates are normal over the prime field Fp and establish concrete results.

En 2022, S. D. Cohen et les deux auteurs ont introduit et étudié le concept de (r,n)-liberté dans les groupes cycliques finis G pour des entiers convenables r et n. Ce concept constitue une approche arithmétique permettant de capturer des éléments de formes spéciales qui appartiennent aux sous-groupes de G. En combinant cet outil avec certaines techniques de sommes de caractères, ils ont exploré l’existence de points (x0,y0) sur des courbes affines de la forme yp−y=f(x), définies sur un corps fini F, dont les coordonnées sont des générateurs du groupe cyclique multiplicatif F∗. Dans cet article, nous développons le pendant additif naturel de ce travail pour les corps finis. Plus précisément, toute extension finie E d’un corps fini F à Q éléments est un module cyclique sur F[x], induit par l’automorphisme de Frobenius α↦αQ, et tout générateur de ce module est appelé un élément normal sur F. Nous introduisons et étudions le concept de (f,g)-liberté dans cette structure de module pour des polynômes convenables f et g dans F[x]. Comme principale application de la théorie développée dans cet article, nous examinons l’existence de points rationnels sur Fpn dans la courbe d’Artin–Schreier Af:yp−y=f(x), dont les coordonnées sont normales sur le corps premier Fp, et nous établissons des résultats concrets.

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DOI : 10.5802/crmath.740
Classification : 11T30, 11T06, 11T23
Keywords: Finite fields, character sums, normal elements, free elements, Artin–Schreier curves
Mots-clés : Corps finis, sommes de caractères, éléments normaux, éléments libres, courbes d’Artin–Schreier

Giorgos Kapetanakis 1 ; Lucas Reis 2

1 Department of Mathematics, University of Thessaly, 3rd km Old National Road Lamia–Athens, 35100, Lamia, Greece
2 Departamento de Matemática, Universidade Federal de Minas Gerais, UFMG, Belo Horizonte MG, Brazil
Licence : CC-BY 4.0
Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits 
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