A direct proof of the weighted Pólya–Knopp inequality following Carleson’s method

Emu Kondo; Shinya Moritoh; Yumi Tanaka

doi:10.5802/crmath.745

Article de recherche - Analyse harmonique

A direct proof of the weighted Pólya–Knopp inequality following Carleson’s method
[Une preuve directe de l’inégalité de Pólya–Knopp à poids par la méthode de Carleson]

Emu Kondo ¹ ; Shinya Moritoh ² ; Yumi Tanaka ³

¹ Graduate School of Humanities and Sciences, Nara Women’s University, Nara, Japan 630-8506
² Department of Mathematics, Nara Women’s University, Nara, Japan 630-8506
³ Center for Diversity and Inclusion, Nara Women’s University, Nara, Japan 630-8506

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 363 (2025), pp. 599-602.

Abstract (VO)
Résumé

The aim of the paper is to provide a direct proof of the weighted Pólya–Knopp inequality. This inequality (which is a limiting case of the Ariño–Muckenhoupt inequalities), involving non-increasing functions, was initially established by Sbordone–Wik, who proved its validity under the necessary and sufficient condition that the weight satisfies an appropriate doubling condition. Our main contribution is to use Carleson’s approach to Carleman’s inequality in conjunction with Hardy’s lemma and Sbordone–Wik’s doubling condition, in order to obtain the weighted Pólya–Knopp inequality.

L’objectif de cet article est de fournir une preuve directe de l’inégalité de Pólya–Knopp à poids. Cette inégalité (qui est un cas limite des inégalités de Ariño–Muckenhoupt), portant sur des fonctions décroissantes, a été montrée par Sbordone–Wik, qui ont montré qu’elle est valide si elle seulement si le poids satisfait une condition adaptée de doublement. Notre contribution principale est d’utiliser la méthode de Carleson pour la preuve de l’inégalité de Carleman, en conjonction avec le lemme de Hardy et la condition de doublement de Sbordone–Wik, afin de prouver directement l’inégalité de Pólya–Knopp à poids.

Reçu le : 2024-12-31
Révisé le : 2025-02-20
Accepté le : 2025-03-27
Publié le : 2025-06-05

DOI : 10.5802/crmath.745

Classification : 26D15, 26A51
Keywords: Hardy’s inequality, Pólya–Knopp’s inequality, weight, doubling condition, nonincreasing
Mots-clés : Inégalité de Hardy, inégalité de Pólya–Knopp, poids, doublement, convexité

Affiliations des auteurs :

Emu Kondo ¹ ; Shinya Moritoh ² ; Yumi Tanaka ³

¹ Graduate School of Humanities and Sciences, Nara Women’s University, Nara, Japan 630-8506
² Department of Mathematics, Nara Women’s University, Nara, Japan 630-8506
³ Center for Diversity and Inclusion, Nara Women’s University, Nara, Japan 630-8506

Licence :

CC-BY 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

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TY  - JOUR
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Emu Kondo; Shinya Moritoh; Yumi Tanaka. A direct proof of the weighted Pólya–Knopp inequality following Carleson’s method. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 363 (2025), pp. 599-602. doi : 10.5802/crmath.745. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.5802/crmath.745/

Bibliographie
Cité par

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Cité par Sources :

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